Lös 3/x^2+2x-8-4/x^2+4x-12=x-4/x^2+10x+24

$$\frac { 3 } { x ^ { 2 } + 2 x - 8 } - \frac { 4 } { x ^ { 2 } + 4 x - 12 } = \frac { x - 4 } { x ^ { 2 } + 10 x + 24 }$$

Lös ut x

$$x=3$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -6,-4,2 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med \left(x-2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right), den minsta gemensamma multipeln för x^{2}+2x-8,x^{2}+4x-12,x^{2}+10x+24.

$$\left(x+6\right)\times 3-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x+6 med 3.

$$3x+18-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x+4 med 4.

$$3x+18-\left(4x+16\right)=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Hitta motsatsen till 4x+16 genom att hitta motsatsen till varje term.

$$3x+18-4x-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Slå ihop 3x och -4x för att få -x.

$$-x+18-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Subtrahera 16 från 18 för att få 2.

$$-x+2=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x-2 med x-4 och slå ihop lika termer.

$$-x+2=x^{2}-6x+8$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$-x+2-x^{2}=-6x+8$$

Lägg till 6x på båda sidorna.

$$-x+2-x^{2}+6x=8$$

Slå ihop -x och 6x för att få 5x.

$$5x+2-x^{2}=8$$

Subtrahera 8 från båda led.

$$5x+2-x^{2}-8=0$$

Subtrahera 8 från 2 för att få -6.

$$5x-6-x^{2}=0$$

Skriv om polynomen på standardform. Ordna termerna från högsta till lägsta grad.

$$-x^{2}+5x-6=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som -x^{2}+ax+bx-6. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=5 ab=-\left(-6\right)=6$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är positivt är a och b positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 6.

$$1,6 2,3$$

Beräkna summan för varje par.

$$1+6=7 2+3=5$$

Lösningen är det par som ger Summa 5.

$$a=3 b=2$$

Skriv om -x^{2}+5x-6 som \left(-x^{2}+3x\right)+\left(2x-6\right).

$$\left(-x^{2}+3x\right)+\left(2x-6\right)$$

Utfaktor -x i den första och den 2 i den andra gruppen.

$$-x\left(x-3\right)+2\left(x-3\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-3 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-3\right)\left(-x+2\right)$$

Lös x-3=0 och -x+2=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=3 x=2$$

Variabeln x får inte vara lika med 2.

$$x=3$$

Steg med lösningsformeln

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -6,-4,2 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med \left(x-2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right), den minsta gemensamma multipeln för x^{2}+2x-8,x^{2}+4x-12,x^{2}+10x+24.

$$\left(x+6\right)\times 3-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x+6 med 3.

$$3x+18-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x+4 med 4.

$$3x+18-\left(4x+16\right)=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Hitta motsatsen till 4x+16 genom att hitta motsatsen till varje term.

$$3x+18-4x-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Slå ihop 3x och -4x för att få -x.

$$-x+18-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Subtrahera 16 från 18 för att få 2.

$$-x+2=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x-2 med x-4 och slå ihop lika termer.

$$-x+2=x^{2}-6x+8$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$-x+2-x^{2}=-6x+8$$

Lägg till 6x på båda sidorna.

$$-x+2-x^{2}+6x=8$$

Slå ihop -x och 6x för att få 5x.

$$5x+2-x^{2}=8$$

Subtrahera 8 från båda led.

$$5x+2-x^{2}-8=0$$

Subtrahera 8 från 2 för att få -6.

$$5x-6-x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-x^{2}+5x-6=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med 5 och c med -6 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\left(-6\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrera 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\left(-6\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+4\left(-6\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 4 med -6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24}}{2\left(-1\right)}$$

Addera 25 till -24.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1}}{2\left(-1\right)}$$

Dra kvadratroten ur 1.

$$x=\frac{-5±1}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$x=\frac{-5±1}{-2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-5±1}{-2} när ± är plus. Addera -5 till 1.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

Dela -4 med -2.

$$x=2$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-5±1}{-2} när ± är minus. Subtrahera 1 från -5.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Dela -6 med -2.

$$x=3$$

Ekvationen har lösts.

$$x=2 x=3$$

Variabeln x får inte vara lika med 2.

$$x=3$$

Steg för kvadratkomplettering

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -6,-4,2 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med \left(x-2\right)\left(x+4\right)\left(x+6\right), den minsta gemensamma multipeln för x^{2}+2x-8,x^{2}+4x-12,x^{2}+10x+24.

$$\left(x+6\right)\times 3-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x+6 med 3.

$$3x+18-\left(x+4\right)\times 4=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x+4 med 4.

$$3x+18-\left(4x+16\right)=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Hitta motsatsen till 4x+16 genom att hitta motsatsen till varje term.

$$3x+18-4x-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Slå ihop 3x och -4x för att få -x.

$$-x+18-16=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Subtrahera 16 från 18 för att få 2.

$$-x+2=\left(x-2\right)\left(x-4\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x-2 med x-4 och slå ihop lika termer.

$$-x+2=x^{2}-6x+8$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$-x+2-x^{2}=-6x+8$$

Lägg till 6x på båda sidorna.

$$-x+2-x^{2}+6x=8$$

Slå ihop -x och 6x för att få 5x.

$$5x+2-x^{2}=8$$

Subtrahera 2 från båda led.

$$5x-x^{2}=8-2$$

Subtrahera 2 från 8 för att få 6.

$$5x-x^{2}=6$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+5x=6$$

Dividera båda led med -1.

$$\frac{-x^{2}+5x}{-1}=\frac{6}{-1}$$

Division med -1 tar ut multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{5}{-1}x=\frac{6}{-1}$$

Dela 5 med -1.

$$x^{2}-5x=\frac{6}{-1}$$

Dela 6 med -1.

$$x^{2}-5x=-6$$

Dividera -5, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{5}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{5}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-6+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{5}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-6+\frac{25}{4}$$

Addera -6 till \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{1}{4}$$

Faktorisera x^{2}-5x+\frac{25}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{1}{2}$$

Addera \frac{5}{2} till båda ekvationsled.

$$x=3 x=2$$

Variabeln x får inte vara lika med 2.

$$x=3$$