Lös 2/x+2/x+1=3

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 2 } { x + 1 } = 3$$

Lös ut x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=1$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -1,0 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med x\left(x+1\right), den minsta gemensamma multipeln för x,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x+1 med 2.

$$2x+2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Slå ihop 2x och x\times 2 för att få 4x.

$$4x+2=3x\left(x+1\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 3x med x+1.

$$4x+2=3x^{2}+3x$$

Subtrahera 3x^{2} från båda led.

$$4x+2-3x^{2}=3x$$

Subtrahera 3x från båda led.

$$4x+2-3x^{2}-3x=0$$

Slå ihop 4x och -3x för att få x.

$$x+2-3x^{2}=0$$

Skriv om polynomen på standardform. Ordna termerna från högsta till lägsta grad.

$$-3x^{2}+x+2=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som -3x^{2}+ax+bx+2. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=1 ab=-3\times 2=-6$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -6.

$$-1,6 -2,3$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

Lösningen är det par som ger Summa 1.

$$a=3 b=-2$$

Skriv om -3x^{2}+x+2 som \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-2x+2\right).

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-2x+2\right)$$

Utfaktor 3x i den första och den 2 i den andra gruppen.

$$3x\left(-x+1\right)+2\left(-x+1\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen -x+1 genom att använda distributivitet.

$$\left(-x+1\right)\left(3x+2\right)$$

Lös -x+1=0 och 3x+2=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$

Steg med lösningsformeln

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -1,0 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med x\left(x+1\right), den minsta gemensamma multipeln för x,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x+1 med 2.

$$2x+2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Slå ihop 2x och x\times 2 för att få 4x.

$$4x+2=3x\left(x+1\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 3x med x+1.

$$4x+2=3x^{2}+3x$$

Subtrahera 3x^{2} från båda led.

$$4x+2-3x^{2}=3x$$

Subtrahera 3x från båda led.

$$4x+2-3x^{2}-3x=0$$

Slå ihop 4x och -3x för att få x.

$$x+2-3x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-3x^{2}+x+2=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -3, b med 1 och c med 2 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-3\right)\times 2}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrera 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-3\right)\times 2}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera -4 med -3.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+12\times 2}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera 12 med 2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+24}}{2\left(-3\right)}$$

Addera 1 till 24.

$$x=\frac{-1±\sqrt{25}}{2\left(-3\right)}$$

Dra kvadratroten ur 25.

$$x=\frac{-1±5}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera 2 med -3.

$$x=\frac{-1±5}{-6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-1±5}{-6} när ± är plus. Addera -1 till 5.

$$x=\frac{4}{-6}$$

Minska bråktalet \frac{4}{-6} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-1±5}{-6} när ± är minus. Subtrahera 5 från -1.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

Dela -6 med -6.

$$x=1$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-\frac{2}{3} x=1$$

Steg för kvadratkomplettering

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -1,0 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med x\left(x+1\right), den minsta gemensamma multipeln för x,x+1.

$$\left(x+1\right)\times 2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x+1 med 2.

$$2x+2+x\times 2=3x\left(x+1\right)$$

Slå ihop 2x och x\times 2 för att få 4x.

$$4x+2=3x\left(x+1\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 3x med x+1.

$$4x+2=3x^{2}+3x$$

Subtrahera 3x^{2} från båda led.

$$4x+2-3x^{2}=3x$$

Subtrahera 3x från båda led.

$$4x+2-3x^{2}-3x=0$$

Slå ihop 4x och -3x för att få x.

$$x+2-3x^{2}=0$$

Subtrahera 2 från båda led. Allt subtraherat från noll blir sin negation.

$$x-3x^{2}=-2$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+x=-2$$

Dividera båda led med -3.

$$\frac{-3x^{2}+x}{-3}=-\frac{2}{-3}$$

Division med -3 tar ut multiplikationen med -3.

$$x^{2}+\frac{1}{-3}x=-\frac{2}{-3}$$

Dela 1 med -3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=-\frac{2}{-3}$$

Dela -2 med -3.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=\frac{2}{3}$$

Dividera -\frac{1}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{6}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{6} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{2}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{6} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{2}{3}+\frac{1}{36}$$

Addera \frac{2}{3} till \frac{1}{36} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{25}{36}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{25}{36}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{36}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{6}=\frac{5}{6} x-\frac{1}{6}=-\frac{5}{6}$$

Addera \frac{1}{6} till båda ekvationsled.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$