Lös 2/x+1+1/x-1=1

$$\frac { 2 } { x + 1 } + \frac { 1 } { x - 1 } = 1$$

Lös ut x

$$x=3$$

$$x=0$$

Steg med lösningsformeln

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -1,1 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med \left(x-1\right)\left(x+1\right), den minsta gemensamma multipeln för x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\times 2+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x-1 med 2.

$$2x-2+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Slå ihop 2x och x för att få 3x.

$$3x-2+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Addera -2 och 1 för att få -1.

$$3x-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Överväg \left(x-1\right)\left(x+1\right). Multiplikation kan transformeras till differens av kvadrater med regeln: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrera 1.

$$3x-1=x^{2}-1$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$3x-1-x^{2}=-1$$

Lägg till 1 på båda sidorna.

$$3x-1-x^{2}+1=0$$

Addera -1 och 1 för att få 0.

$$3x-x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-x^{2}+3x=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med 3 och c med 0 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}}}{2\left(-1\right)}$$

Dra kvadratroten ur 3^{2}.

$$x=\frac{-3±3}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$x=\frac{-3±3}{-2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±3}{-2} när ± är plus. Addera -3 till 3.

$$x=\frac{0}{-2}$$

Dela 0 med -2.

$$x=0$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±3}{-2} när ± är minus. Subtrahera 3 från -3.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

Dela -6 med -2.

$$x=3$$

Ekvationen har lösts.

$$x=0 x=3$$

Steg för kvadratkomplettering

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -1,1 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med \left(x-1\right)\left(x+1\right), den minsta gemensamma multipeln för x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\times 2+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x-1 med 2.

$$2x-2+x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Slå ihop 2x och x för att få 3x.

$$3x-2+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Addera -2 och 1 för att få -1.

$$3x-1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

Överväg \left(x-1\right)\left(x+1\right). Multiplikation kan transformeras till differens av kvadrater med regeln: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Kvadrera 1.

$$3x-1=x^{2}-1$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$3x-1-x^{2}=-1$$

Lägg till 1 på båda sidorna.

$$3x-x^{2}=-1+1$$

Addera -1 och 1 för att få 0.

$$3x-x^{2}=0$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x=0$$

Dividera båda led med -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=\frac{0}{-1}$$

Division med -1 tar ut multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=\frac{0}{-1}$$

Dela 3 med -1.

$$x^{2}-3x=\frac{0}{-1}$$

Dela 0 med -1.

$$x^{2}-3x=0$$

Dividera -3, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{3}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{3}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{3}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktorisera x^{2}-3x+\frac{9}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{3}{2}$$

Addera \frac{3}{2} till båda ekvationsled.

$$x=3 x=0$$