Lös frac{2+sqrt{5}}{2-sqrt{5}}

$$\frac { 2 + \sqrt { 5 } } { 2 - \sqrt { 5 } }$$

Beräkna

$$-4\sqrt{5}-9\approx -17,94427191$$

Lösningssteg

Rationalisera nämnaren i \frac{2+\sqrt{5}}{2-\sqrt{5}} genom att multiplicera täljare och nämnare med 2+\sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{\left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}$$

Överväg \left(2-\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right). Multiplikation kan transformeras till differens av kvadrater med regeln: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}$$

Kvadrera 2. Kvadrera \sqrt{5}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{4-5}$$

Subtrahera 5 från 4 för att få -1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)\left(2+\sqrt{5}\right)}{-1}$$

Multiplicera 2+\sqrt{5} och 2+\sqrt{5} för att få \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(2+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}}{-1}$$

Kvadraten av \sqrt{5} är 5.

$$\frac{4+4\sqrt{5}+5}{-1}$$

Addera 4 och 5 för att få 9.

$$\frac{9+4\sqrt{5}}{-1}$$

Något som delas med -1 ger sin motsats. Hitta motsatsen till 9+4\sqrt{5} genom att hitta motsatsen till varje term.

$$-9-4\sqrt{5}$$