Lös frac{2+sqrt{3}}{2-sqrt{3}}=a+bsqrt{3}

$$\frac { 2 + \sqrt { 3 } } { 2 - \sqrt { 3 } } = a + b \sqrt { 3 }$$

Lös ut b

$$b=-\frac{\sqrt{3}\left(a-4\sqrt{3}-7\right)}{3}$$

Steg för lösning av en linjär ekvation

Rationalisera nämnaren i \frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}} genom att multiplicera täljare och nämnare med 2+\sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}=a+b\sqrt{3}$$

Överväg \left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right). Multiplikation kan transformeras till differens av kvadrater med regeln: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{2^{2}-\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

Kvadrera 2. Kvadrera \sqrt{3}.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{4-3}=a+b\sqrt{3}$$

Subtrahera 3 från 4 för att få 1.

$$\frac{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}{1}=a+b\sqrt{3}$$

Om något divideras med ett blir det fortfarande samma.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)=a+b\sqrt{3}$$

Multiplicera 2+\sqrt{3} och 2+\sqrt{3} för att få \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}=a+b\sqrt{3}$$

Kvadraten av \sqrt{3} är 3.

$$4+4\sqrt{3}+3=a+b\sqrt{3}$$

Addera 4 och 3 för att få 7.

$$7+4\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$$

Byt plats på leden så att alla variabeltermer är till vänster.

$$a+b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}$$

Subtrahera a från båda led.

$$b\sqrt{3}=7+4\sqrt{3}-a$$

Ekvationen är på standardform.

$$\sqrt{3}b=-a+4\sqrt{3}+7$$

Dividera båda led med \sqrt{3}.

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

Division med \sqrt{3} tar ut multiplikationen med \sqrt{3}.

$$b=\frac{-a+4\sqrt{3}+7}{\sqrt{3}}$$

Dela 4\sqrt{3}-a+7 med \sqrt{3}.

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+4\sqrt{3}+7\right)}{3}$$

Lös ut a

$$a=-\sqrt{3}b+4\sqrt{3}+7$$