Lös 15/p+6p-5/p+2=1

$$\frac { 15 } { p } + \frac { 6 p - 5 } { p + 2 } = 1$$

Lös ut p

$$p=\frac{-4+\sqrt{134}i}{5}\approx -0,8+2,315167381i$$

$$p=\frac{-\sqrt{134}i-4}{5}\approx -0,8-2,315167381i$$

Steg med lösningsformeln

Variabeln p får inte vara lika med något av värdena -2,0 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med p\left(p+2\right), den minsta gemensamma multipeln för p,p+2.

$$\left(p+2\right)\times 15+p\left(6p-5\right)=p\left(p+2\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera p+2 med 15.

$$15p+30+p\left(6p-5\right)=p\left(p+2\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera p med 6p-5.

$$15p+30+6p^{2}-5p=p\left(p+2\right)$$

Slå ihop 15p och -5p för att få 10p.

$$10p+30+6p^{2}=p\left(p+2\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera p med p+2.

$$10p+30+6p^{2}=p^{2}+2p$$

Subtrahera p^{2} från båda led.

$$10p+30+6p^{2}-p^{2}=2p$$

Slå ihop 6p^{2} och -p^{2} för att få 5p^{2}.

$$10p+30+5p^{2}=2p$$

Subtrahera 2p från båda led.

$$10p+30+5p^{2}-2p=0$$

Slå ihop 10p och -2p för att få 8p.

$$8p+30+5p^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$5p^{2}+8p+30=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 5, b med 8 och c med 30 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 5\times 30}}{2\times 5}$$

Kvadrera 8.

$$p=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 5\times 30}}{2\times 5}$$

Multiplicera -4 med 5.

$$p=\frac{-8±\sqrt{64-20\times 30}}{2\times 5}$$

Multiplicera -20 med 30.

$$p=\frac{-8±\sqrt{64-600}}{2\times 5}$$

Addera 64 till -600.

$$p=\frac{-8±\sqrt{-536}}{2\times 5}$$

Dra kvadratroten ur -536.

$$p=\frac{-8±2\sqrt{134}i}{2\times 5}$$

Multiplicera 2 med 5.

$$p=\frac{-8±2\sqrt{134}i}{10}$$

Lös nu ekvationen p=\frac{-8±2\sqrt{134}i}{10} när ± är plus. Addera -8 till 2i\sqrt{134}.

$$p=\frac{-8+2\sqrt{134}i}{10}$$

Dela -8+2i\sqrt{134} med 10.

$$p=\frac{-4+\sqrt{134}i}{5}$$

Lös nu ekvationen p=\frac{-8±2\sqrt{134}i}{10} när ± är minus. Subtrahera 2i\sqrt{134} från -8.

$$p=\frac{-2\sqrt{134}i-8}{10}$$

Dela -8-2i\sqrt{134} med 10.

$$p=\frac{-\sqrt{134}i-4}{5}$$

Ekvationen har lösts.

$$p=\frac{-4+\sqrt{134}i}{5} p=\frac{-\sqrt{134}i-4}{5}$$

Steg för kvadratkomplettering

Variabeln p får inte vara lika med något av värdena -2,0 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med p\left(p+2\right), den minsta gemensamma multipeln för p,p+2.

$$\left(p+2\right)\times 15+p\left(6p-5\right)=p\left(p+2\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera p+2 med 15.

$$15p+30+p\left(6p-5\right)=p\left(p+2\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera p med 6p-5.

$$15p+30+6p^{2}-5p=p\left(p+2\right)$$

Slå ihop 15p och -5p för att få 10p.

$$10p+30+6p^{2}=p\left(p+2\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera p med p+2.

$$10p+30+6p^{2}=p^{2}+2p$$

Subtrahera p^{2} från båda led.

$$10p+30+6p^{2}-p^{2}=2p$$

Slå ihop 6p^{2} och -p^{2} för att få 5p^{2}.

$$10p+30+5p^{2}=2p$$

Subtrahera 2p från båda led.

$$10p+30+5p^{2}-2p=0$$

Slå ihop 10p och -2p för att få 8p.

$$8p+30+5p^{2}=0$$

Subtrahera 30 från båda led. Allt subtraherat från noll blir sin negation.

$$8p+5p^{2}=-30$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$5p^{2}+8p=-30$$

Dividera båda led med 5.

$$\frac{5p^{2}+8p}{5}=-\frac{30}{5}$$

Division med 5 tar ut multiplikationen med 5.

$$p^{2}+\frac{8}{5}p=-\frac{30}{5}$$

Dela -30 med 5.

$$p^{2}+\frac{8}{5}p=-6$$

Dividera \frac{8}{5}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{4}{5}. Addera sedan kvadraten av \frac{4}{5} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$p^{2}+\frac{8}{5}p+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=-6+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{4}{5} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$p^{2}+\frac{8}{5}p+\frac{16}{25}=-6+\frac{16}{25}$$

Addera -6 till \frac{16}{25}.

$$p^{2}+\frac{8}{5}p+\frac{16}{25}=-\frac{134}{25}$$

Faktorisera p^{2}+\frac{8}{5}p+\frac{16}{25}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p+\frac{4}{5}\right)^{2}=-\frac{134}{25}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(p+\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{134}{25}}$$

Förenkla.

$$p+\frac{4}{5}=\frac{\sqrt{134}i}{5} p+\frac{4}{5}=-\frac{\sqrt{134}i}{5}$$

Subtrahera \frac{4}{5} från båda ekvationsled.

$$p=\frac{-4+\sqrt{134}i}{5} p=\frac{-\sqrt{134}i-4}{5}$$