Lös 13/4x^2-4x-5=0

$$\frac { 13 } { 4 } x ^ { 2 } - 4 x - 5 = 0$$

Lös ut x

$$x=-\frac{10}{13}\approx -0,769230769$$

$$x=2$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$\frac{13}{4}x^{2}-4x-5=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med \frac{13}{4}, b med -4 och c med -5 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times \frac{13}{4}\left(-5\right)}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Kvadrera -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times \frac{13}{4}\left(-5\right)}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Multiplicera -4 med \frac{13}{4}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-13\left(-5\right)}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Multiplicera -13 med -5.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+65}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Addera 16 till 65.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{81}}{2\times \frac{13}{4}}$$

Dra kvadratroten ur 81.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±9}{2\times \frac{13}{4}}$$

Motsatsen till -4 är 4.

$$x=\frac{4±9}{2\times \frac{13}{4}}$$

Multiplicera 2 med \frac{13}{4}.

$$x=\frac{4±9}{\frac{13}{2}}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{4±9}{\frac{13}{2}} när ± är plus. Addera 4 till 9.

$$x=\frac{13}{\frac{13}{2}}$$

Dela 13 med \frac{13}{2} genom att multiplicera 13 med reciproken till \frac{13}{2}.

$$x=2$$

Lös nu ekvationen x=\frac{4±9}{\frac{13}{2}} när ± är minus. Subtrahera 9 från 4.

$$x=-\frac{5}{\frac{13}{2}}$$

Dela -5 med \frac{13}{2} genom att multiplicera -5 med reciproken till \frac{13}{2}.

$$x=-\frac{10}{13}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=2 x=-\frac{10}{13}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$\frac{13}{4}x^{2}-4x-5=0$$

Addera 5 till båda ekvationsled.

$$\frac{13}{4}x^{2}-4x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Subtraktion av -5 från sig självt ger 0 som resultat.

$$\frac{13}{4}x^{2}-4x=-\left(-5\right)$$

Subtrahera -5 från 0.

$$\frac{13}{4}x^{2}-4x=5$$

Dela båda ekvationsled med \frac{13}{4}, vilket är detsamma som att multiplicera båda led med bråktalets reciprok.

$$\frac{\frac{13}{4}x^{2}-4x}{\frac{13}{4}}=\frac{5}{\frac{13}{4}}$$

Division med \frac{13}{4} tar ut multiplikationen med \frac{13}{4}.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{\frac{13}{4}}\right)x=\frac{5}{\frac{13}{4}}$$

Dela -4 med \frac{13}{4} genom att multiplicera -4 med reciproken till \frac{13}{4}.

$$x^{2}-\frac{16}{13}x=\frac{5}{\frac{13}{4}}$$

Dela 5 med \frac{13}{4} genom att multiplicera 5 med reciproken till \frac{13}{4}.

$$x^{2}-\frac{16}{13}x=\frac{20}{13}$$

Dividera -\frac{16}{13}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{8}{13}. Addera sedan kvadraten av -\frac{8}{13} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{16}{13}x+\left(-\frac{8}{13}\right)^{2}=\frac{20}{13}+\left(-\frac{8}{13}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{8}{13} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{16}{13}x+\frac{64}{169}=\frac{20}{13}+\frac{64}{169}$$

Addera \frac{20}{13} till \frac{64}{169} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{16}{13}x+\frac{64}{169}=\frac{324}{169}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{16}{13}x+\frac{64}{169}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{8}{13}\right)^{2}=\frac{324}{169}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{13}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{324}{169}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{8}{13}=\frac{18}{13} x-\frac{8}{13}=-\frac{18}{13}$$

Addera \frac{8}{13} till båda ekvationsled.

$$x=2 x=-\frac{10}{13}$$