Lös 10/(x+3)(x-7)-8/(x+3)(x-5)=x+10/(x-5)(x-7)

$$\frac { 10 } { ( x + 3 ) ( x - 7 ) } - \frac { 8 } { ( x + 3 ) ( x - 5 ) } = \frac { x + 10 } { ( x - 5 ) ( x - 7 ) }$$

Lös ut x

$$x=-8$$

Steg med lösningsformeln

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -3,5,7 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med \left(x-7\right)\left(x-5\right)\left(x+3\right), den minsta gemensamma multipeln för \left(x+3\right)\left(x-7\right),\left(x+3\right)\left(x-5\right),\left(x-5\right)\left(x-7\right).

$$\left(x-5\right)\times 10-\left(x-7\right)\times 8=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x-5 med 10.

$$10x-50-\left(x-7\right)\times 8=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x-7 med 8.

$$10x-50-\left(8x-56\right)=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Hitta motsatsen till 8x-56 genom att hitta motsatsen till varje term.

$$10x-50-8x+56=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Slå ihop 10x och -8x för att få 2x.

$$2x-50+56=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Addera -50 och 56 för att få 6.

$$2x+6=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x+3 med x+10 och slå ihop lika termer.

$$2x+6=x^{2}+13x+30$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$2x+6-x^{2}=13x+30$$

Subtrahera 13x från båda led.

$$2x+6-x^{2}-13x=30$$

Slå ihop 2x och -13x för att få -11x.

$$-11x+6-x^{2}=30$$

Subtrahera 30 från båda led.

$$-11x+6-x^{2}-30=0$$

Subtrahera 30 från 6 för att få -24.

$$-11x-24-x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-x^{2}-11x-24=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med -11 och c med -24 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrera -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+4\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 4 med -24.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-96}}{2\left(-1\right)}$$

Addera 121 till -96.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{25}}{2\left(-1\right)}$$

Dra kvadratroten ur 25.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±5}{2\left(-1\right)}$$

Motsatsen till -11 är 11.

$$x=\frac{11±5}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$x=\frac{11±5}{-2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{11±5}{-2} när ± är plus. Addera 11 till 5.

$$x=\frac{16}{-2}$$

Dela 16 med -2.

$$x=-8$$

Lös nu ekvationen x=\frac{11±5}{-2} när ± är minus. Subtrahera 5 från 11.

$$x=\frac{6}{-2}$$

Dela 6 med -2.

$$x=-3$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-8 x=-3$$

Variabeln x får inte vara lika med -3.

$$x=-8$$

Steg för kvadratkomplettering

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -3,5,7 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med \left(x-7\right)\left(x-5\right)\left(x+3\right), den minsta gemensamma multipeln för \left(x+3\right)\left(x-7\right),\left(x+3\right)\left(x-5\right),\left(x-5\right)\left(x-7\right).

$$\left(x-5\right)\times 10-\left(x-7\right)\times 8=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x-5 med 10.

$$10x-50-\left(x-7\right)\times 8=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x-7 med 8.

$$10x-50-\left(8x-56\right)=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Hitta motsatsen till 8x-56 genom att hitta motsatsen till varje term.

$$10x-50-8x+56=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Slå ihop 10x och -8x för att få 2x.

$$2x-50+56=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Addera -50 och 56 för att få 6.

$$2x+6=\left(x+3\right)\left(x+10\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x+3 med x+10 och slå ihop lika termer.

$$2x+6=x^{2}+13x+30$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$2x+6-x^{2}=13x+30$$

Subtrahera 13x från båda led.

$$2x+6-x^{2}-13x=30$$

Slå ihop 2x och -13x för att få -11x.

$$-11x+6-x^{2}=30$$

Subtrahera 6 från båda led.

$$-11x-x^{2}=30-6$$

Subtrahera 6 från 30 för att få 24.

$$-11x-x^{2}=24$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-11x=24$$

Dividera båda led med -1.

$$\frac{-x^{2}-11x}{-1}=\frac{24}{-1}$$

Division med -1 tar ut multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{11}{-1}\right)x=\frac{24}{-1}$$

Dela -11 med -1.

$$x^{2}+11x=\frac{24}{-1}$$

Dela 24 med -1.

$$x^{2}+11x=-24$$

Dividera 11, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{11}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{11}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+11x+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}=-24+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{11}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=-24+\frac{121}{4}$$

Addera -24 till \frac{121}{4}.

$$x^{2}+11x+\frac{121}{4}=\frac{25}{4}$$

Faktorisera x^{2}+11x+\frac{121}{4}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{11}{2}=\frac{5}{2} x+\frac{11}{2}=-\frac{5}{2}$$

Subtrahera \frac{11}{2} från båda ekvationsled.

$$x=-3 x=-8$$

Variabeln x får inte vara lika med -3.

$$x=-8$$