Lös 1-2x/x+1=x/x-1

$$\frac { 1 - 2 x } { x + 1 } = \frac { x } { x - 1 }$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{2}i+1}{3}\approx 0,333333333-0,471404521i$$

$$x=\frac{1+\sqrt{2}i}{3}\approx 0,333333333+0,471404521i$$

Steg med lösningsformeln

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -1,1 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med \left(x-1\right)\left(x+1\right), den minsta gemensamma multipeln för x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(1-2x\right)=\left(x+1\right)x$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x-1 med 1-2x och slå ihop lika termer.

$$3x-2x^{2}-1=\left(x+1\right)x$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x+1 med x.

$$3x-2x^{2}-1=x^{2}+x$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$3x-2x^{2}-1-x^{2}=x$$

Slå ihop -2x^{2} och -x^{2} för att få -3x^{2}.

$$3x-3x^{2}-1=x$$

Subtrahera x från båda led.

$$3x-3x^{2}-1-x=0$$

Slå ihop 3x och -x för att få 2x.

$$2x-3x^{2}-1=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-3x^{2}+2x-1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -3, b med 2 och c med -1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Kvadrera 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-3\right)\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera -4 med -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12\left(-1\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera 12 med -1.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12}}{2\left(-3\right)}$$

Addera 4 till -12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2\left(-3\right)}$$

Dra kvadratroten ur -8.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2\left(-3\right)}$$

Multiplicera 2 med -3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{-6}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{-6} när ± är plus. Addera -2 till 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{-6}$$

Dela -2+2i\sqrt{2} med -6.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i+1}{3}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{-6} när ± är minus. Subtrahera 2i\sqrt{2} från -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{-6}$$

Dela -2-2i\sqrt{2} med -6.

$$x=\frac{1+\sqrt{2}i}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i+1}{3} x=\frac{1+\sqrt{2}i}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -1,1 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med \left(x-1\right)\left(x+1\right), den minsta gemensamma multipeln för x+1,x-1.

$$\left(x-1\right)\left(1-2x\right)=\left(x+1\right)x$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x-1 med 1-2x och slå ihop lika termer.

$$3x-2x^{2}-1=\left(x+1\right)x$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x+1 med x.

$$3x-2x^{2}-1=x^{2}+x$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$3x-2x^{2}-1-x^{2}=x$$

Slå ihop -2x^{2} och -x^{2} för att få -3x^{2}.

$$3x-3x^{2}-1=x$$

Subtrahera x från båda led.

$$3x-3x^{2}-1-x=0$$

Slå ihop 3x och -x för att få 2x.

$$2x-3x^{2}-1=0$$

Lägg till 1 på båda sidorna. Noll plus något blir detta något.

$$2x-3x^{2}=1$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+2x=1$$

Dividera båda led med -3.

$$\frac{-3x^{2}+2x}{-3}=\frac{1}{-3}$$

Division med -3 tar ut multiplikationen med -3.

$$x^{2}+\frac{2}{-3}x=\frac{1}{-3}$$

Dela 2 med -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{-3}$$

Dela 1 med -3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Dividera -\frac{2}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{3}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Addera -\frac{1}{3} till \frac{1}{9} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

Addera \frac{1}{3} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i+1}{3}$$