Lös 1/x+4/x+1+1=15/x

$$\frac { 1 } { x } + \frac { 4 } { x + 1 } + 1 = \frac { 15 } { x }$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{137} + 9}{2} \approx 10,352349955$$

$$x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}\approx -1,352349955$$

Steg med lösningsformeln

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -1,0 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med x\left(x+1\right), den minsta gemensamma multipeln för x,x+1.

$$x+1+x\times 4+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Slå ihop x och x\times 4 för att få 5x.

$$5x+1+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x med x+1.

$$5x+1+x^{2}+x=\left(x+1\right)\times 15$$

Slå ihop 5x och x för att få 6x.

$$6x+1+x^{2}=\left(x+1\right)\times 15$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x+1 med 15.

$$6x+1+x^{2}=15x+15$$

Subtrahera 15x från båda led.

$$6x+1+x^{2}-15x=15$$

Slå ihop 6x och -15x för att få -9x.

$$-9x+1+x^{2}=15$$

Subtrahera 15 från båda led.

$$-9x+1+x^{2}-15=0$$

Subtrahera 15 från 1 för att få -14.

$$-9x-14+x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x^{2}-9x-14=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -9 och c med -14 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-14\right)}}{2}$$

Kvadrera -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-14\right)}}{2}$$

Multiplicera -4 med -14.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+56}}{2}$$

Addera 81 till 56.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{137}}{2}$$

Motsatsen till -9 är 9.

$$x=\frac{9±\sqrt{137}}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{9±\sqrt{137}}{2} när ± är plus. Addera 9 till \sqrt{137}.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{9±\sqrt{137}}{2} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{137} från 9.

$$x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -1,0 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med x\left(x+1\right), den minsta gemensamma multipeln för x,x+1.

$$x+1+x\times 4+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Slå ihop x och x\times 4 för att få 5x.

$$5x+1+x\left(x+1\right)=\left(x+1\right)\times 15$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x med x+1.

$$5x+1+x^{2}+x=\left(x+1\right)\times 15$$

Slå ihop 5x och x för att få 6x.

$$6x+1+x^{2}=\left(x+1\right)\times 15$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x+1 med 15.

$$6x+1+x^{2}=15x+15$$

Subtrahera 15x från båda led.

$$6x+1+x^{2}-15x=15$$

Slå ihop 6x och -15x för att få -9x.

$$-9x+1+x^{2}=15$$

Subtrahera 1 från båda led.

$$-9x+x^{2}=15-1$$

Subtrahera 1 från 15 för att få 14.

$$-9x+x^{2}=14$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-9x=14$$

Dividera -9, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{9}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{9}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=14+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{9}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=14+\frac{81}{4}$$

Addera 14 till \frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=\frac{137}{4}$$

Faktorisera x^{2}-9x+\frac{81}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{137}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{137}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{\sqrt{137}}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{\sqrt{137}}{2}$$

Addera \frac{9}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{137}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{137}}{2}$$