Lös 1/x^2+x-2+1/x^2+7x+10+1/x^2+13x+40=1/3x-3-frac{1}{21}

$$\frac { 1 } { x ^ { 2 } + x - 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 7 x + 10 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } + 13 x + 40 } = \frac { 1 } { 3 x - 3 } - \frac { 1 } { 21 }$$

Lös ut x

$$x=-1$$

Lösningssteg

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -8,-5,-2,1 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med 21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right), den minsta gemensamma multipeln för x^{2}+x-2,x^{2}+7x+10,x^{2}+13x+40,3x-3,21.

$$21\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 21 med x+5.

$$\left(21x+105\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 21x+105 med x+8 och slå ihop lika termer.

$$21x^{2}+273x+840+21\left(x-1\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 21 med x-1.

$$21x^{2}+273x+840+\left(21x-21\right)\left(x+8\right)+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 21x-21 med x+8 och slå ihop lika termer.

$$21x^{2}+273x+840+21x^{2}+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Slå ihop 21x^{2} och 21x^{2} för att få 42x^{2}.

$$42x^{2}+273x+840+147x-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Slå ihop 273x och 147x för att få 420x.

$$42x^{2}+420x+840-168+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Subtrahera 168 från 840 för att få 672.

$$42x^{2}+420x+672+21\left(x+2\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 21 med x+2.

$$42x^{2}+420x+672+\left(21x+42\right)\left(x-1\right)=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 21x+42 med x-1 och slå ihop lika termer.

$$42x^{2}+420x+672+21x^{2}+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Slå ihop 42x^{2} och 21x^{2} för att få 63x^{2}.

$$63x^{2}+420x+672+21x-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Slå ihop 420x och 21x för att få 441x.

$$63x^{2}+441x+672-42=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Subtrahera 42 från 672 för att få 630.

$$63x^{2}+441x+630=7\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 7 med x+2.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x+14\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 7x+14 med x+5 och slå ihop lika termer.

$$63x^{2}+441x+630=\left(7x^{2}+49x+70\right)\left(x+8\right)+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 7x^{2}+49x+70 med x+8 och slå ihop lika termer.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+21\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)\left(-\frac{1}{21}\right)$$

Multiplicera 21 och -\frac{1}{21} för att få -1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera -1 med x-1.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera -x+1 med x+2 och slå ihop lika termer.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{2}-x+2\right)\left(x+5\right)\left(x+8\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera -x^{2}-x+2 med x+5 och slå ihop lika termer.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560+\left(-x^{3}-6x^{2}-3x+10\right)\left(x+8\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera -x^{3}-6x^{2}-3x+10 med x+8 och slå ihop lika termer.

$$63x^{2}+441x+630=7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-14x^{3}-51x^{2}-14x+80$$

Slå ihop 7x^{3} och -14x^{3} för att få -7x^{3}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+105x^{2}+462x+560-x^{4}-51x^{2}-14x+80$$

Slå ihop 105x^{2} och -51x^{2} för att få 54x^{2}.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+462x+560-x^{4}-14x+80$$

Slå ihop 462x och -14x för att få 448x.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+560-x^{4}+80$$

Addera 560 och 80 för att få 640.

$$63x^{2}+441x+630=-7x^{3}+54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Lägg till 7x^{3} på båda sidorna.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}=54x^{2}+448x+640-x^{4}$$

Subtrahera 54x^{2} från båda led.

$$63x^{2}+441x+630+7x^{3}-54x^{2}=448x+640-x^{4}$$

Slå ihop 63x^{2} och -54x^{2} för att få 9x^{2}.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}=448x+640-x^{4}$$

Subtrahera 448x från båda led.

$$9x^{2}+441x+630+7x^{3}-448x=640-x^{4}$$

Slå ihop 441x och -448x för att få -7x.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}=640-x^{4}$$

Subtrahera 640 från båda led.

$$9x^{2}-7x+630+7x^{3}-640=-x^{4}$$

Subtrahera 640 från 630 för att få -10.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}=-x^{4}$$

Lägg till x^{4} på båda sidorna.

$$9x^{2}-7x-10+7x^{3}+x^{4}=0$$

Skriv om ekvationen på standardform. Ordna termerna från högsta till lägsta grad.

$$x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10=0$$

Enligt den rationella rotsatsen har en polynoms rationella rötter formen \frac{p}{q}, där p delar upp konstanten -10 och q delar upp den ledande koefficienten 1. Visa en lista över alla kandidater \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Hitta en sådan rot genom att testa alla heltalsvärden, med början från det minsta efter absolut värde. Om inga heltalsrötter hittas kan du försöka med bråktal.

$$x=1$$

Enligt faktor Binomialsatsen är x-k faktorn för varje rot k. Dividera x^{4}+7x^{3}+9x^{2}-7x-10 med x-1 för att få x^{3}+8x^{2}+17x+10. Lös ekvationen där resultatet är lika med 0.

$$x^{3}+8x^{2}+17x+10=0$$

Enligt den rationella rotsatsen har en polynoms rationella rötter formen \frac{p}{q}, där p delar upp konstanten 10 och q delar upp den ledande koefficienten 1. Visa en lista över alla kandidater \frac{p}{q}.

$$±10,±5,±2,±1$$

Hitta en sådan rot genom att testa alla heltalsvärden, med början från det minsta efter absolut värde. Om inga heltalsrötter hittas kan du försöka med bråktal.

$$x=-1$$

Enligt faktor Binomialsatsen är x-k faktorn för varje rot k. Dividera x^{3}+8x^{2}+17x+10 med x+1 för att få x^{2}+7x+10. Lös ekvationen där resultatet är lika med 0.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 1 med a, 7 med b och 10 med c i lösningsformeln.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 1\times 10}}{2}$$

Gör beräkningarna.

$$x=\frac{-7±3}{2}$$

Lös ekvationen x^{2}+7x+10=0 när ± är plus och när ± är minus.

$$x=-5 x=-2$$

Ta bort värdena som variabeln inte kan vara lika med.

$$x=-1$$

Visa alla lösningar som hittades.

$$x=1 x=-1 x=-5 x=-2$$

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena 1,-5,-2.

$$x=-1$$