Lös 1/x+40+1/x=1/48

$$\frac { 1 } { x + 40 } + \frac { 1 } { x } = \frac { 1 } { 48 }$$

Lös ut x

$$x=-24$$

$$x=80$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -40,0 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med 48x\left(x+40\right), den minsta gemensamma multipeln för x+40,x,48.

$$48x+48x+1920=x\left(x+40\right)$$

Slå ihop 48x och 48x för att få 96x.

$$96x+1920=x\left(x+40\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x med x+40.

$$96x+1920=x^{2}+40x$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$96x+1920-x^{2}=40x$$

Subtrahera 40x från båda led.

$$96x+1920-x^{2}-40x=0$$

Slå ihop 96x och -40x för att få 56x.

$$56x+1920-x^{2}=0$$

Skriv om polynomen på standardform. Ordna termerna från högsta till lägsta grad.

$$-x^{2}+56x+1920=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som -x^{2}+ax+bx+1920. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=56 ab=-1920=-1920$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -1920.

$$-1,1920 -2,960 -3,640 -4,480 -5,384 -6,320 -8,240 -10,192 -12,160 -15,128 -16,120 -20,96 -24,80 -30,64 -32,60 -40,48$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+1920=1919 -2+960=958 -3+640=637 -4+480=476 -5+384=379 -6+320=314 -8+240=232 -10+192=182 -12+160=148 -15+128=113 -16+120=104 -20+96=76 -24+80=56 -30+64=34 -32+60=28 -40+48=8$$

Lösningen är det par som ger Summa 56.

$$a=80 b=-24$$

Skriv om -x^{2}+56x+1920 som \left(-x^{2}+80x\right)+\left(-24x+1920\right).

$$\left(-x^{2}+80x\right)+\left(-24x+1920\right)$$

Utfaktor -x i den första och den -24 i den andra gruppen.

$$-x\left(x-80\right)-24\left(x-80\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-80 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-80\right)\left(-x-24\right)$$

Lös x-80=0 och -x-24=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=80 x=-24$$

Steg med lösningsformeln

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -40,0 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med 48x\left(x+40\right), den minsta gemensamma multipeln för x+40,x,48.

$$48x+48x+1920=x\left(x+40\right)$$

Slå ihop 48x och 48x för att få 96x.

$$96x+1920=x\left(x+40\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x med x+40.

$$96x+1920=x^{2}+40x$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$96x+1920-x^{2}=40x$$

Subtrahera 40x från båda led.

$$96x+1920-x^{2}-40x=0$$

Slå ihop 96x och -40x för att få 56x.

$$56x+1920-x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-x^{2}+56x+1920=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med 56 och c med 1920 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-56±\sqrt{56^{2}-4\left(-1\right)\times 1920}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrera 56.

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136-4\left(-1\right)\times 1920}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136+4\times 1920}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 4 med 1920.

$$x=\frac{-56±\sqrt{3136+7680}}{2\left(-1\right)}$$

Addera 3136 till 7680.

$$x=\frac{-56±\sqrt{10816}}{2\left(-1\right)}$$

Dra kvadratroten ur 10816.

$$x=\frac{-56±104}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$x=\frac{-56±104}{-2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-56±104}{-2} när ± är plus. Addera -56 till 104.

$$x=\frac{48}{-2}$$

Dela 48 med -2.

$$x=-24$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-56±104}{-2} när ± är minus. Subtrahera 104 från -56.

$$x=-\frac{160}{-2}$$

Dela -160 med -2.

$$x=80$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-24 x=80$$

Steg för kvadratkomplettering

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -40,0 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med 48x\left(x+40\right), den minsta gemensamma multipeln för x+40,x,48.

$$48x+48x+1920=x\left(x+40\right)$$

Slå ihop 48x och 48x för att få 96x.

$$96x+1920=x\left(x+40\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x med x+40.

$$96x+1920=x^{2}+40x$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$96x+1920-x^{2}=40x$$

Subtrahera 40x från båda led.

$$96x+1920-x^{2}-40x=0$$

Slå ihop 96x och -40x för att få 56x.

$$56x+1920-x^{2}=0$$

Subtrahera 1920 från båda led. Allt subtraherat från noll blir sin negation.

$$56x-x^{2}=-1920$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+56x=-1920$$

Dividera båda led med -1.

$$\frac{-x^{2}+56x}{-1}=-\frac{1920}{-1}$$

Division med -1 tar ut multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{56}{-1}x=-\frac{1920}{-1}$$

Dela 56 med -1.

$$x^{2}-56x=-\frac{1920}{-1}$$

Dela -1920 med -1.

$$x^{2}-56x=1920$$

Dividera -56, koefficienten för termen x, med 2 för att få -28. Addera sedan kvadraten av -28 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-56x+\left(-28\right)^{2}=1920+\left(-28\right)^{2}$$

Kvadrera -28.

$$x^{2}-56x+784=1920+784$$

Addera 1920 till 784.

$$x^{2}-56x+784=2704$$

Faktorisera x^{2}-56x+784. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-28\right)^{2}=2704$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-28\right)^{2}}=\sqrt{2704}$$

Förenkla.

$$x-28=52 x-28=-52$$

Addera 28 till båda ekvationsled.

$$x=80 x=-24$$