Lös 1/x+1+x+3/(x-2)(x+1)=7x/(x+1)(x-2)-x/(x+1)

$$\frac { 1 } { x + 1 } + \frac { x + 3 } { ( x - 2 ) ( x + 1 ) } = \frac { 7 x } { ( x + 1 ) ( x - 2 ) } - \frac { x } { ( x + 1 ) }$$

Lös ut x

$$x = \frac{3 \sqrt{5} + 7}{2} \approx 6,854101966$$

$$x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}\approx 0,145898034$$

Steg med lösningsformeln

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -1,2 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med \left(x-2\right)\left(x+1\right), den minsta gemensamma multipeln för x+1,\left(x-2\right)\left(x+1\right).

$$x-2+x+3=7x-\left(x-2\right)x$$

Slå ihop x och x för att få 2x.

$$2x-2+3=7x-\left(x-2\right)x$$

Addera -2 och 3 för att få 1.

$$2x+1=7x-\left(x-2\right)x$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x-2 med x.

$$2x+1=7x-\left(x^{2}-2x\right)$$

Hitta motsatsen till x^{2}-2x genom att hitta motsatsen till varje term.

$$2x+1=7x-x^{2}+2x$$

Slå ihop 7x och 2x för att få 9x.

$$2x+1=9x-x^{2}$$

Subtrahera 9x från båda led.

$$2x+1-9x=-x^{2}$$

Slå ihop 2x och -9x för att få -7x.

$$-7x+1=-x^{2}$$

Lägg till x^{2} på båda sidorna.

$$-7x+1+x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x^{2}-7x+1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -7 och c med 1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4}}{2}$$

Kvadrera -7.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4}}{2}$$

Addera 49 till -4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{45}}{2}$$

Dra kvadratroten ur 45.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±3\sqrt{5}}{2}$$

Motsatsen till -7 är 7.

$$x=\frac{7±3\sqrt{5}}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{7±3\sqrt{5}}{2} när ± är plus. Addera 7 till 3\sqrt{5}.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{7±3\sqrt{5}}{2} när ± är minus. Subtrahera 3\sqrt{5} från 7.

$$x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2} x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -1,2 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med \left(x-2\right)\left(x+1\right), den minsta gemensamma multipeln för x+1,\left(x-2\right)\left(x+1\right).

$$x-2+x+3=7x-\left(x-2\right)x$$

Slå ihop x och x för att få 2x.

$$2x-2+3=7x-\left(x-2\right)x$$

Addera -2 och 3 för att få 1.

$$2x+1=7x-\left(x-2\right)x$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x-2 med x.

$$2x+1=7x-\left(x^{2}-2x\right)$$

Hitta motsatsen till x^{2}-2x genom att hitta motsatsen till varje term.

$$2x+1=7x-x^{2}+2x$$

Slå ihop 7x och 2x för att få 9x.

$$2x+1=9x-x^{2}$$

Subtrahera 9x från båda led.

$$2x+1-9x=-x^{2}$$

Slå ihop 2x och -9x för att få -7x.

$$-7x+1=-x^{2}$$

Lägg till x^{2} på båda sidorna.

$$-7x+1+x^{2}=0$$

Subtrahera 1 från båda led. Allt subtraherat från noll blir sin negation.

$$-7x+x^{2}=-1$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-7x=-1$$

Dividera -7, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{7}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{7}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{7}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-1+\frac{49}{4}$$

Addera -1 till \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{45}{4}$$

Faktorisera x^{2}-7x+\frac{49}{4}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{45}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{3\sqrt{5}}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{3\sqrt{5}}{2}$$

Addera \frac{7}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{3\sqrt{5}+7}{2} x=\frac{7-3\sqrt{5}}{2}$$