Lös 1/x+1+2/x-1=x^2+2x/x^2-1

$$\frac { 1 } { x + 1 } + \frac { 2 } { x - 1 } = \frac { x ^ { 2 } + 2 x } { x ^ { 2 } - 1 }$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618033989$$

Steg med lösningsformeln

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -1,1 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med \left(x-1\right)\left(x+1\right), den minsta gemensamma multipeln för x+1,x-1,x^{2}-1.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x+1 med 2.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Slå ihop x och 2x för att få 3x.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Addera -1 och 2 för att få 1.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Subtrahera 2x från båda led.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Slå ihop 3x och -2x för att få x.

$$x+1-x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-x^{2}+x+1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med 1 och c med 1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrera 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Addera 1 till 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} när ± är plus. Addera -1 till \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Dela -1+\sqrt{5} med -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{5} från -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Dela -1-\sqrt{5} med -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -1,1 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med \left(x-1\right)\left(x+1\right), den minsta gemensamma multipeln för x+1,x-1,x^{2}-1.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x+1 med 2.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

Slå ihop x och 2x för att få 3x.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

Addera -1 och 2 för att få 1.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

Subtrahera x^{2} från båda led.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

Subtrahera 2x från båda led.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

Slå ihop 3x och -2x för att få x.

$$x+1-x^{2}=0$$

Subtrahera 1 från båda led. Allt subtraherat från noll blir sin negation.

$$x-x^{2}=-1$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+x=-1$$

Dividera båda led med -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

Division med -1 tar ut multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

Dela 1 med -1.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-1}$$

Dela -1 med -1.

$$x^{2}-x=1$$

Dividera -1, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

Addera 1 till \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

Faktorisera x^{2}-x+\frac{1}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Addera \frac{1}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$