Lös 1/9x^2-6x+1+16/15x^2+25x-10=1/3x-1

$$\frac { 1 } { 9 x ^ { 2 } - 6 x + 1 } + \frac { 16 } { 15 x ^ { 2 } + 25 x - 10 } = \frac { 1 } { 3 x - 1 }$$

Lös ut x

$$x=-\frac{2}{15}\approx -0,133333333$$

$$x=2$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -2,\frac{1}{3} eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}, den minsta gemensamma multipeln för 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 3x-1 med 16.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Slå ihop 5x och 48x för att få 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Subtrahera 16 från 10 för att få -6.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 5 med x+2.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 5x+10 med 3x-1 och slå ihop lika termer.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Subtrahera 15x^{2} från båda led.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Subtrahera 25x från båda led.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Slå ihop 53x och -25x för att få 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Lägg till 10 på båda sidorna.

$$28x-6-15x^{2}+10=0$$

Addera -6 och 10 för att få 4.

$$28x+4-15x^{2}=0$$

Skriv om polynomen på standardform. Ordna termerna från högsta till lägsta grad.

$$-15x^{2}+28x+4=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som -15x^{2}+ax+bx+4. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=28 ab=-15\times 4=-60$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Lösningen är det par som ger Summa 28.

$$a=30 b=-2$$

Skriv om -15x^{2}+28x+4 som \left(-15x^{2}+30x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(-15x^{2}+30x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Utfaktor 15x i den första och den 2 i den andra gruppen.

$$15x\left(-x+2\right)+2\left(-x+2\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen -x+2 genom att använda distributivitet.

$$\left(-x+2\right)\left(15x+2\right)$$

Lös -x+2=0 och 15x+2=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=2 x=-\frac{2}{15}$$

Steg med lösningsformeln

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -2,\frac{1}{3} eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}, den minsta gemensamma multipeln för 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 3x-1 med 16.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Slå ihop 5x och 48x för att få 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Subtrahera 16 från 10 för att få -6.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 5 med x+2.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 5x+10 med 3x-1 och slå ihop lika termer.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Subtrahera 15x^{2} från båda led.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Subtrahera 25x från båda led.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Slå ihop 53x och -25x för att få 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Lägg till 10 på båda sidorna.

$$28x-6-15x^{2}+10=0$$

Addera -6 och 10 för att få 4.

$$28x+4-15x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-15x^{2}+28x+4=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -15, b med 28 och c med 4 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\left(-15\right)\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

Kvadrera 28.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\left(-15\right)\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

Multiplicera -4 med -15.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+60\times 4}}{2\left(-15\right)}$$

Multiplicera 60 med 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784+240}}{2\left(-15\right)}$$

Addera 784 till 240.

$$x=\frac{-28±\sqrt{1024}}{2\left(-15\right)}$$

Dra kvadratroten ur 1024.

$$x=\frac{-28±32}{2\left(-15\right)}$$

Multiplicera 2 med -15.

$$x=\frac{-28±32}{-30}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-28±32}{-30} när ± är plus. Addera -28 till 32.

$$x=\frac{4}{-30}$$

Minska bråktalet \frac{4}{-30} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=-\frac{2}{15}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-28±32}{-30} när ± är minus. Subtrahera 32 från -28.

$$x=-\frac{60}{-30}$$

Dela -60 med -30.

$$x=2$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-\frac{2}{15} x=2$$

Steg för kvadratkomplettering

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -2,\frac{1}{3} eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med 5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)^{2}, den minsta gemensamma multipeln för 9x^{2}-6x+1,15x^{2}+25x-10,3x-1.

$$5x+10+\left(3x-1\right)\times 16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 3x-1 med 16.

$$5x+10+48x-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Slå ihop 5x och 48x för att få 53x.

$$53x+10-16=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Subtrahera 16 från 10 för att få -6.

$$53x-6=5\left(x+2\right)\left(3x-1\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 5 med x+2.

$$53x-6=\left(5x+10\right)\left(3x-1\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 5x+10 med 3x-1 och slå ihop lika termer.

$$53x-6=15x^{2}+25x-10$$

Subtrahera 15x^{2} från båda led.

$$53x-6-15x^{2}=25x-10$$

Subtrahera 25x från båda led.

$$53x-6-15x^{2}-25x=-10$$

Slå ihop 53x och -25x för att få 28x.

$$28x-6-15x^{2}=-10$$

Lägg till 6 på båda sidorna.

$$28x-15x^{2}=-10+6$$

Addera -10 och 6 för att få -4.

$$28x-15x^{2}=-4$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-15x^{2}+28x=-4$$

Dividera båda led med -15.

$$\frac{-15x^{2}+28x}{-15}=-\frac{4}{-15}$$

Division med -15 tar ut multiplikationen med -15.

$$x^{2}+\frac{28}{-15}x=-\frac{4}{-15}$$

Dela 28 med -15.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x=-\frac{4}{-15}$$

Dela -4 med -15.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x=\frac{4}{15}$$

Dividera -\frac{28}{15}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{14}{15}. Addera sedan kvadraten av -\frac{14}{15} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\left(-\frac{14}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(-\frac{14}{15}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{14}{15} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}=\frac{4}{15}+\frac{196}{225}$$

Addera \frac{4}{15} till \frac{196}{225} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}=\frac{256}{225}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{28}{15}x+\frac{196}{225}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{14}{15}\right)^{2}=\frac{256}{225}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{14}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{256}{225}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{14}{15}=\frac{16}{15} x-\frac{14}{15}=-\frac{16}{15}$$

Addera \frac{14}{15} till båda ekvationsled.

$$x=2 x=-\frac{2}{15}$$