Lös 1/3x^2+4/5x=1

$$\frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } + \frac { 4 } { 5 } x = 1$$

Lös ut x

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5}\approx 0,907130751$$

$$x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}\approx -3,307130751$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x=1$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x-1=1-1$$

Subtraktion av 1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x-1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med \frac{1}{3}, b med \frac{4}{5} och c med -1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\left(\frac{4}{5}\right)^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Kvadrera \frac{4}{5} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}-4\times \frac{1}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Multiplicera -4 med \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}-\frac{4}{3}\left(-1\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Multiplicera -\frac{4}{3} med -1.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{16}{25}+\frac{4}{3}}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Addera \frac{16}{25} till \frac{4}{3} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\sqrt{\frac{148}{75}}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Dra kvadratroten ur \frac{148}{75}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Multiplicera 2 med \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}} när ± är plus. Addera -\frac{4}{5} till \frac{2\sqrt{111}}{15}.

$$x=\frac{\frac{2\sqrt{111}}{15}-\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}}$$

Dela -\frac{4}{5}+\frac{2\sqrt{111}}{15} med \frac{2}{3} genom att multiplicera -\frac{4}{5}+\frac{2\sqrt{111}}{15} med reciproken till \frac{2}{3}.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-\frac{4}{5}±\frac{2\sqrt{111}}{15}}{\frac{2}{3}} när ± är minus. Subtrahera \frac{2\sqrt{111}}{15} från -\frac{4}{5}.

$$x=\frac{-\frac{2\sqrt{111}}{15}-\frac{4}{5}}{\frac{2}{3}}$$

Dela -\frac{4}{5}-\frac{2\sqrt{111}}{15} med \frac{2}{3} genom att multiplicera -\frac{4}{5}-\frac{2\sqrt{111}}{15} med reciproken till \frac{2}{3}.

$$x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5} x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x=1$$

Multiplicera båda led med 3.

$$\frac{\frac{1}{3}x^{2}+\frac{4}{5}x}{\frac{1}{3}}=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

Division med \frac{1}{3} tar ut multiplikationen med \frac{1}{3}.

$$x^{2}+\frac{\frac{4}{5}}{\frac{1}{3}}x=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

Dela \frac{4}{5} med \frac{1}{3} genom att multiplicera \frac{4}{5} med reciproken till \frac{1}{3}.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=\frac{1}{\frac{1}{3}}$$

Dela 1 med \frac{1}{3} genom att multiplicera 1 med reciproken till \frac{1}{3}.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=3$$

Dividera \frac{12}{5}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{6}{5}. Addera sedan kvadraten av \frac{6}{5} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}=3+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{6}{5} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=3+\frac{36}{25}$$

Addera 3 till \frac{36}{25}.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{111}{25}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{111}{25}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{111}{25}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{6}{5}=\frac{\sqrt{111}}{5} x+\frac{6}{5}=-\frac{\sqrt{111}}{5}$$

Subtrahera \frac{6}{5} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{111}-6}{5} x=\frac{-\sqrt{111}-6}{5}$$