Lös 1/(x-3)=2x+1/x^2-4

$$\frac { 1 } { ( x - 3 ) } = \frac { 2 x + 1 } { x ^ { 2 } - 4 }$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{21} + 5}{2} \approx 4,791287847$$

$$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}\approx 0,208712153$$

Steg med lösningsformeln

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -2,2,3 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right), den minsta gemensamma multipeln för x-3,x^{2}-4.

$$x^{2}-4=\left(x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x-3 med 2x+1 och slå ihop lika termer.

$$x^{2}-4=2x^{2}-5x-3$$

Subtrahera 2x^{2} från båda led.

$$x^{2}-4-2x^{2}=-5x-3$$

Slå ihop x^{2} och -2x^{2} för att få -x^{2}.

$$-x^{2}-4=-5x-3$$

Lägg till 5x på båda sidorna.

$$-x^{2}-4+5x=-3$$

Lägg till 3 på båda sidorna.

$$-x^{2}-4+5x+3=0$$

Addera -4 och 3 för att få -1.

$$-x^{2}-1+5x=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-x^{2}+5x-1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med 5 och c med -1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrera 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 4 med -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4}}{2\left(-1\right)}$$

Addera 25 till -4.

$$x=\frac{-5±\sqrt{21}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$x=\frac{-5±\sqrt{21}}{-2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-5±\sqrt{21}}{-2} när ± är plus. Addera -5 till \sqrt{21}.

$$x=\frac{\sqrt{21}-5}{-2}$$

Dela -5+\sqrt{21} med -2.

$$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-5±\sqrt{21}}{-2} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{21} från -5.

$$x=\frac{-\sqrt{21}-5}{-2}$$

Dela -5-\sqrt{21} med -2.

$$x=\frac{\sqrt{21}+5}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{5-\sqrt{21}}{2} x=\frac{\sqrt{21}+5}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Variabeln x får inte vara lika med något av värdena -2,2,3 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med \left(x-3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right), den minsta gemensamma multipeln för x-3,x^{2}-4.

$$x^{2}-4=\left(x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera x-3 med 2x+1 och slå ihop lika termer.

$$x^{2}-4=2x^{2}-5x-3$$

Subtrahera 2x^{2} från båda led.

$$x^{2}-4-2x^{2}=-5x-3$$

Slå ihop x^{2} och -2x^{2} för att få -x^{2}.

$$-x^{2}-4=-5x-3$$

Lägg till 5x på båda sidorna.

$$-x^{2}-4+5x=-3$$

Lägg till 4 på båda sidorna.

$$-x^{2}+5x=-3+4$$

Addera -3 och 4 för att få 1.

$$-x^{2}+5x=1$$

Dividera båda led med -1.

$$\frac{-x^{2}+5x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

Division med -1 tar ut multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{5}{-1}x=\frac{1}{-1}$$

Dela 5 med -1.

$$x^{2}-5x=\frac{1}{-1}$$

Dela 1 med -1.

$$x^{2}-5x=-1$$

Dividera -5, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{5}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{5}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{5}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-1+\frac{25}{4}$$

Addera -1 till \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{21}{4}$$

Faktorisera x^{2}-5x+\frac{25}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{21}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{21}}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{21}}{2}$$

Addera \frac{5}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{21}+5}{2} x=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$$