Lös -f/10f+42=1/f+3

$$\frac { - f } { 10 f + 42 } = \frac { 1 } { f + 3 }$$

Lös ut f

$$f=-7$$

$$f=-6$$

Steg med lösningsformeln

Variabeln f får inte vara lika med något av värdena -\frac{21}{5},-3 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med 2\left(f+3\right)\left(5f+21\right), den minsta gemensamma multipeln för 10f+42,f+3.

$$\left(f+3\right)\left(-f\right)=10f+42$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera f+3 med -f.

$$f\left(-f\right)+3\left(-f\right)=10f+42$$

Subtrahera 10f från båda led.

$$f\left(-f\right)+3\left(-f\right)-10f=42$$

Subtrahera 42 från båda led.

$$f\left(-f\right)+3\left(-f\right)-10f-42=0$$

Multiplicera f och f för att få f^{2}.

$$f^{2}\left(-1\right)+3\left(-1\right)f-10f-42=0$$

Multiplicera 3 och -1 för att få -3.

$$f^{2}\left(-1\right)-3f-10f-42=0$$

Slå ihop -3f och -10f för att få -13f.

$$f^{2}\left(-1\right)-13f-42=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-f^{2}-13f-42=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med -13 och c med -42 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$f=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-42\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrera -13.

$$f=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\left(-1\right)\left(-42\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$f=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169+4\left(-42\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 4 med -42.

$$f=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2\left(-1\right)}$$

Addera 169 till -168.

$$f=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2\left(-1\right)}$$

Dra kvadratroten ur 1.

$$f=\frac{-\left(-13\right)±1}{2\left(-1\right)}$$

Motsatsen till -13 är 13.

$$f=\frac{13±1}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$f=\frac{13±1}{-2}$$

Lös nu ekvationen f=\frac{13±1}{-2} när ± är plus. Addera 13 till 1.

$$f=\frac{14}{-2}$$

Dela 14 med -2.

$$f=-7$$

Lös nu ekvationen f=\frac{13±1}{-2} när ± är minus. Subtrahera 1 från 13.

$$f=\frac{12}{-2}$$

Dela 12 med -2.

$$f=-6$$

Ekvationen har lösts.

$$f=-7 f=-6$$

Steg för kvadratkomplettering

Variabeln f får inte vara lika med något av värdena -\frac{21}{5},-3 eftersom division med noll inte har definierats. Multiplicera båda sidorna av ekvationen med 2\left(f+3\right)\left(5f+21\right), den minsta gemensamma multipeln för 10f+42,f+3.

$$\left(f+3\right)\left(-f\right)=10f+42$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera f+3 med -f.

$$f\left(-f\right)+3\left(-f\right)=10f+42$$

Subtrahera 10f från båda led.

$$f\left(-f\right)+3\left(-f\right)-10f=42$$

Multiplicera f och f för att få f^{2}.

$$f^{2}\left(-1\right)+3\left(-1\right)f-10f=42$$

Multiplicera 3 och -1 för att få -3.

$$f^{2}\left(-1\right)-3f-10f=42$$

Slå ihop -3f och -10f för att få -13f.

$$f^{2}\left(-1\right)-13f=42$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-f^{2}-13f=42$$

Dividera båda led med -1.

$$\frac{-f^{2}-13f}{-1}=\frac{42}{-1}$$

Division med -1 tar ut multiplikationen med -1.

$$f^{2}+\left(-\frac{13}{-1}\right)f=\frac{42}{-1}$$

Dela -13 med -1.

$$f^{2}+13f=\frac{42}{-1}$$

Dela 42 med -1.

$$f^{2}+13f=-42$$

Dividera 13, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{13}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{13}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$f^{2}+13f+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{13}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$f^{2}+13f+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

Addera -42 till \frac{169}{4}.

$$f^{2}+13f+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

Faktorisera f^{2}+13f+\frac{169}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(f+\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(f+\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Förenkla.

$$f+\frac{13}{2}=\frac{1}{2} f+\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

Subtrahera \frac{13}{2} från båda ekvationsled.

$$f=-6 f=-7$$