Lös frac{sqrt{12}+sqrt{6}+sqrt{2}+2}{sqrt{3}+1}

$$\frac { \sqrt { 12 } + \sqrt { 6 } + \sqrt { 2 } + 2 } { \sqrt { 3 } + 1 }$$

Beräkna

$$\sqrt{2}+2\approx 3,414213562$$

Lösningssteg

Faktorisera 12=2^{2}\times 3. Skriv om kvadratroten av produkt \sqrt{2^{2}\times 3} som produkten av fyrkantiga rötter \sqrt{2^{2}}\sqrt{3}. Dra kvadratroten ur 2^{2}.

$$\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2}{\sqrt{3}+1}$$

Rationalisera nämnaren i \frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2}{\sqrt{3}+1} genom att multiplicera täljare och nämnare med \sqrt{3}-1.

$$\frac{\left(2\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}$$

Överväg \left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right). Multiplikation kan transformeras till differens av kvadrater med regeln: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}$$

Kvadrera \sqrt{3}. Kvadrera 1.

$$\frac{\left(2\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}$$

Subtrahera 1 från 3 för att få 2.

$$\frac{\left(2\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}$$

Använd den distributiva egenskapen genom att multiplicera varje term av 2\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{2}+2 med varje term av \sqrt{3}-1.

$$\frac{2\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}+\sqrt{6}\sqrt{3}-\sqrt{6}+\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

Kvadraten av \sqrt{3} är 3.

$$\frac{2\times 3-2\sqrt{3}+\sqrt{6}\sqrt{3}-\sqrt{6}+\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

Multiplicera 2 och 3 för att få 6.

$$\frac{6-2\sqrt{3}+\sqrt{6}\sqrt{3}-\sqrt{6}+\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

Faktorisera 6=3\times 2. Skriv om kvadratroten av produkt \sqrt{3\times 2} som produkten av fyrkantiga rötter \sqrt{3}\sqrt{2}.

$$\frac{6-2\sqrt{3}+\sqrt{3}\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{6}+\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

Multiplicera \sqrt{3} och \sqrt{3} för att få 3.

$$\frac{6-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{2}\sqrt{3}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

Om du vill multiplicera \sqrt{2} och \sqrt{3} multiplicerar du numren under kvadratroten.

$$\frac{6-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{6}+\sqrt{6}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

Slå ihop -\sqrt{6} och \sqrt{6} för att få 0.

$$\frac{6-2\sqrt{3}+3\sqrt{2}-\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

Slå ihop 3\sqrt{2} och -\sqrt{2} för att få 2\sqrt{2}.

$$\frac{6-2\sqrt{3}+2\sqrt{2}+2\sqrt{3}-2}{2}$$

Slå ihop -2\sqrt{3} och 2\sqrt{3} för att få 0.

$$\frac{6+2\sqrt{2}-2}{2}$$

Subtrahera 2 från 6 för att få 4.

$$\frac{4+2\sqrt{2}}{2}$$

Dividera varje term av 4+2\sqrt{2} med 2 för att få 2+\sqrt{2}.

$$2+\sqrt{2}$$