Lös cosA--015

$$\cos A - - 015$$

Derivera m.a.p. A

$$-\sin(A)$$

Steg med definitionen av derivata

Multiplicera 0 och 15 för att få 0.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}A}(\cos(A)-0)$$

Multiplicera -1 och 0 för att få 0.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}A}(\cos(A)+0)$$

Noll plus något blir detta något.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}A}(\cos(A))$$

För en funktion, f\left(x\right), är derivatan gränsvärdet för \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} då h går mot 0, om gränsvärdet existerar.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}A}(\cos(A))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(A+h)-\cos(A)}{h}\right)$$

Använd additionsformeln för cosinus.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(A+h)-\cos(A)}{h}$$

Bryt ut \cos(A).

$$\lim_{h\to 0}\frac{\cos(A)\left(\cos(h)-1\right)-\sin(A)\sin(h)}{h}$$

Skriv om gränsvärdet.

$$\left(\lim_{h\to 0}\cos(A)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\left(\lim_{h\to 0}\sin(A)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Använd det faktum att A är en konstant vid beräkning av gränsvärden när h går mot 0.

$$\cos(A)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(A)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Gränsvärdet för \lim_{A\to 0}\frac{\sin(A)}{A} är 1.

$$\cos(A)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(A)$$

Du beräknar gränsvärdet \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h} genom att först multiplicera täljare och nämnare med \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Multiplicera \cos(h)+1 med \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Använd trigonometriska ettan.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Skriv om gränsvärdet.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Gränsvärdet för \lim_{A\to 0}\frac{\sin(A)}{A} är 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Använd det faktum att \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} är kontinuerlig vid 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Sätt in värdet 0 i uttrycket \cos(A)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)-\sin(A).

$$-\sin(A)$$

Beräkna

$$\cos(A)$$