Lös [1+1/sqrt{2}+1/2][1-1/sqrt{2}+1/2]

$$[ 1 + \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } ] [ 1 - \frac { 1 } { \sqrt { 2 } } + \frac { 1 } { 2 } ]$$

Beräkna

$$\frac{7}{4}=1,75$$

Lösningssteg

Rationalisera nämnaren i \frac{1}{\sqrt{2}} genom att multiplicera täljare och nämnare med \sqrt{2}.

$$\left(1+\frac{\sqrt{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}}+\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)$$

Kvadraten av \sqrt{2} är 2.

$$\left(1+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)$$

Konvertera 1 till bråktalet \frac{2}{2}.

$$\left(\frac{2}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)$$

Eftersom \frac{2}{2} och \frac{1}{2} har samma nämnare adderar du dem genom att addera deras täljare.

$$\left(\frac{2+1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)$$

Addera 2 och 1 för att få 3.

$$\left(\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)$$

Eftersom \frac{3}{2} och \frac{\sqrt{2}}{2} har samma nämnare adderar du dem genom att addera deras täljare.

$$\frac{3+\sqrt{2}}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{2}\right)$$

Rationalisera nämnaren i \frac{1}{\sqrt{2}} genom att multiplicera täljare och nämnare med \sqrt{2}.

$$\frac{3+\sqrt{2}}{2}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{\left(\sqrt{2}\right)^{2}}+\frac{1}{2}\right)$$

Kvadraten av \sqrt{2} är 2.

$$\frac{3+\sqrt{2}}{2}\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\right)$$

Konvertera 1 till bråktalet \frac{2}{2}.

$$\frac{3+\sqrt{2}}{2}\left(\frac{2}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\right)$$

Eftersom \frac{2}{2} och \frac{1}{2} har samma nämnare adderar du dem genom att addera deras täljare.

$$\frac{3+\sqrt{2}}{2}\left(\frac{2+1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

Addera 2 och 1 för att få 3.

$$\frac{3+\sqrt{2}}{2}\left(\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$

Eftersom \frac{3}{2} och \frac{\sqrt{2}}{2} har samma nämnare adderar du dem genom att addera deras täljare.

$$\frac{3+\sqrt{2}}{2}\times \frac{3+\sqrt{2}}{2}$$

Multiplicera \frac{3+\sqrt{2}}{2} och \frac{3+\sqrt{2}}{2} för att få \left(\frac{3+\sqrt{2}}{2}\right)^{2}.

$$\left(\frac{3+\sqrt{2}}{2}\right)^{2}$$

Om du vill upphöja \frac{3+\sqrt{2}}{2} upphöjer du både täljaren och nämnaren och dividerar sedan.

$$\frac{\left(3+\sqrt{2}\right)^{2}}{2^{2}}$$

Använd binomialsatsen \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} för att expandera \left(3+\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\frac{9+6\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}}{2^{2}}$$

Kvadraten av \sqrt{2} är 2.

$$\frac{9+6\sqrt{2}+2}{2^{2}}$$

Addera 9 och 2 för att få 11.

$$\frac{11+6\sqrt{2}}{2^{2}}$$

Beräkna 2 upphöjt till 2 och få 4.

$$\frac{11+6\sqrt{2}}{4}$$

Faktorisera

$$\frac{7}{2 ^ {2}} = 1\frac{3}{4} = 1,75$$