Zgjidh z=xy+e^y/y^2+1.text{Find}partial^2z/partialxpartialy

$$z = x y + \frac { e ^ { y } } { y ^ { 2 } + 1 } . \text { Find } \frac { \partial ^ { 2 } z } { \partial x \partial y }$$

Gjej x (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{e^{y}-z-zy^{2}}{y\left(y^{2}+1\right)}\text{, }&y\neq -i\text{ and }y\neq i\text{ and }y\neq 0\\x\in \mathrm{C}\text{, }&z=1\text{ and }y=0\end{matrix}\right.$$

Hapat për zgjidhjen e ekuacionit linear

Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me \left(y-i\right)\left(y+i\right).

$$z\left(y-i\right)\left(y+i\right)=xy\left(y-i\right)\left(y+i\right)+e^{y}$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar z me y-i.

$$\left(zy-iz\right)\left(y+i\right)=xy\left(y-i\right)\left(y+i\right)+e^{y}$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar zy-iz me y+i dhe kombino kufizat e ngjashme.

$$zy^{2}+z=xy\left(y-i\right)\left(y+i\right)+e^{y}$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar xy me y-i.

$$zy^{2}+z=\left(xy^{2}-ixy\right)\left(y+i\right)+e^{y}$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar xy^{2}-ixy me y+i dhe kombino kufizat e ngjashme.

$$zy^{2}+z=xy^{3}+xy+e^{y}$$

Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$xy^{3}+xy+e^{y}=zy^{2}+z$$

Zbrit e^{y} nga të dyja anët.

$$xy^{3}+xy=zy^{2}+z-e^{y}$$

Kombino të gjitha kufizat që përmbajnë x.

$$\left(y^{3}+y\right)x=zy^{2}+z-e^{y}$$

Pjesëto të dyja anët me y^{3}+y.

$$\frac{\left(y^{3}+y\right)x}{y^{3}+y}=\frac{zy^{2}+z-e^{y}}{y^{3}+y}$$

Pjesëtimi me y^{3}+y zhbën shumëzimin me y^{3}+y.

$$x=\frac{zy^{2}+z-e^{y}}{y^{3}+y}$$

Pjesëto zy^{2}+z-e^{y} me y^{3}+y.

$$x=\frac{zy^{2}+z-e^{y}}{y\left(y^{2}+1\right)}$$

Gjej x

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{e^{y}-z-zy^{2}}{y\left(y^{2}+1\right)}\text{, }&y\neq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }&z=1\text{ and }y=0\end{matrix}\right.$$

Hapat për zgjidhjen e ekuacionit linear

Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me y^{2}+1.

$$z\left(y^{2}+1\right)=xy\left(y^{2}+1\right)+e^{y}$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar z me y^{2}+1.

$$zy^{2}+z=xy\left(y^{2}+1\right)+e^{y}$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar xy me y^{2}+1.

$$zy^{2}+z=xy^{3}+xy+e^{y}$$

Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$xy^{3}+xy+e^{y}=zy^{2}+z$$

Zbrit e^{y} nga të dyja anët.

$$xy^{3}+xy=zy^{2}+z-e^{y}$$

Kombino të gjitha kufizat që përmbajnë x.

$$\left(y^{3}+y\right)x=zy^{2}+z-e^{y}$$

Pjesëto të dyja anët me y^{3}+y.

$$\frac{\left(y^{3}+y\right)x}{y^{3}+y}=\frac{zy^{2}+z-e^{y}}{y^{3}+y}$$

Pjesëtimi me y^{3}+y zhbën shumëzimin me y^{3}+y.

$$x=\frac{zy^{2}+z-e^{y}}{y^{3}+y}$$

Pjesëto zy^{2}+z-e^{y} me y^{3}+y.

$$x=\frac{zy^{2}+z-e^{y}}{y\left(y^{2}+1\right)}$$