Zgjidh y-operatorname{axis}.4x+y=3,7x-2y=5

$$y - \operatorname { axis } .4 x + y = 3,7 x - 2 y = 5$$

Gjej x, y

$$x=\frac{8}{-\frac{2as\xi }{5}+7}$$

$$y=\frac{5\left(2as\xi +21\right)}{2\left(35-2as\xi \right)}$$

$$s=0\text{ or }\xi =0\text{ or }a\neq \frac{35}{2s\xi }$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo -1 me 0.4 për të marrë -0.4.

$$y-0.4a\xi sx+y=3$$

Kombino y dhe y për të marrë 2y.

$$2y-0.4a\xi sx=3$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2y+\left(-\frac{2as\xi }{5}\right)x=3,-2y+7x=5$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2y+\left(-\frac{2as\xi }{5}\right)x=3$$

Mblidh \frac{2a\xi sx}{5} në të dyja anët e ekuacionit.

$$2y=\frac{2as\xi }{5}x+3$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$y=\frac{1}{2}\left(\frac{2as\xi }{5}x+3\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë \frac{2a\xi sx}{5}+3.

$$y=\frac{as\xi }{5}x+\frac{3}{2}$$

Zëvendëso y me \frac{a\xi sx}{5}+\frac{3}{2} në ekuacionin tjetër, -2y+7x=5.

$$-2\left(\frac{as\xi }{5}x+\frac{3}{2}\right)+7x=5$$

Shumëzo -2 herë \frac{a\xi sx}{5}+\frac{3}{2}.

$$\left(-\frac{2as\xi }{5}\right)x-3+7x=5$$

Mblidh -\frac{2a\xi sx}{5} me 7x.

$$\left(-\frac{2as\xi }{5}+7\right)x-3=5$$

Mblidh 3 në të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(-\frac{2as\xi }{5}+7\right)x=8$$

Pjesëto të dyja anët me -\frac{2a\xi s}{5}+7.

$$x=\frac{40}{35-2as\xi }$$

Zëvendëso x me \frac{40}{-2a\xi s+35} në y=\frac{as\xi }{5}x+\frac{3}{2}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=\frac{as\xi }{5}\times \frac{40}{35-2as\xi }+\frac{3}{2}$$

Shumëzo \frac{a\xi s}{5} herë \frac{40}{-2a\xi s+35}.

$$y=\frac{8as\xi }{35-2as\xi }+\frac{3}{2}$$

Mblidh \frac{3}{2} me \frac{8a\xi s}{-2a\xi s+35}.

$$y=\frac{5\left(2as\xi +21\right)}{2\left(35-2as\xi \right)}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=\frac{5\left(2as\xi +21\right)}{2\left(35-2as\xi \right)},x=\frac{40}{35-2as\xi }$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo -1 me 0.4 për të marrë -0.4.

$$y-0.4a\xi sx+y=3$$

Kombino y dhe y për të marrë 2y.

$$2y-0.4a\xi sx=3$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2y+\left(-\frac{2as\xi }{5}\right)x=3,-2y+7x=5$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-\frac{2as\xi }{5}\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&-\frac{2a\xi s}{5}\\-2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-\frac{2as\xi }{5}\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-\frac{2as\xi }{5}\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-\frac{2as\xi }{5}\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-\frac{2as\xi }{5}\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-\frac{2as\xi }{5}\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{2\times 7-\left(-\frac{2as\xi }{5}\right)\left(-2\right)}&-\frac{-\frac{2as\xi }{5}}{2\times 7-\left(-\frac{2as\xi }{5}\right)\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{2\times 7-\left(-\frac{2as\xi }{5}\right)\left(-2\right)}&\frac{2}{2\times 7-\left(-\frac{2as\xi }{5}\right)\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{2\left(35-2as\xi \right)}&\frac{as\xi }{35-2as\xi }\\\frac{5}{35-2as\xi }&\frac{5}{35-2as\xi }\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{2\left(35-2as\xi \right)}\times 3+\frac{as\xi }{35-2as\xi }\times 5\\\frac{5}{35-2as\xi }\times 3+\frac{5}{35-2as\xi }\times 5\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5\left(2as\xi +21\right)}{2\left(35-2as\xi \right)}\\\frac{40}{35-2as\xi }\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=\frac{5\left(2as\xi +21\right)}{2\left(35-2as\xi \right)},x=\frac{40}{35-2as\xi }$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo -1 me 0.4 për të marrë -0.4.

$$y-0.4a\xi sx+y=3$$

Kombino y dhe y për të marrë 2y.

$$2y-0.4a\xi sx=3$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2y+\left(-\frac{2as\xi }{5}\right)x=3,-2y+7x=5$$

Për ta bërë 2y të barabartë me -2y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$-2\times 2y-2\left(-\frac{2as\xi }{5}\right)x=-2\times 3,2\left(-2\right)y+2\times 7x=2\times 5$$

Thjeshto.

$$-4y+\frac{4as\xi }{5}x=-6,-4y+14x=10$$

Zbrit -4y+14x=10 nga -4y+\frac{4as\xi }{5}x=-6 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-4y+4y+\frac{4as\xi }{5}x-14x=-6-10$$

Mblidh -4y me 4y. Shprehjet -4y dhe 4y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$\frac{4as\xi }{5}x-14x=-6-10$$

Mblidh \frac{4a\xi sx}{5} me -14x.

$$\left(\frac{4as\xi }{5}-14\right)x=-6-10$$

Mblidh -6 me -10.

$$\left(\frac{4as\xi }{5}-14\right)x=-16$$

Pjesëto të dyja anët me \frac{4a\xi s}{5}-14.

$$x=-\frac{40}{2as\xi -35}$$

Zëvendëso x me -\frac{40}{2a\xi s-35} në -2y+7x=5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$-2y+7\left(-\frac{40}{2as\xi -35}\right)=5$$

Shumëzo 7 herë -\frac{40}{2a\xi s-35}.

$$-2y-\frac{280}{2as\xi -35}=5$$

Mblidh \frac{280}{2a\xi s-35} në të dyja anët e ekuacionit.

$$-2y=\frac{5\left(2as\xi +21\right)}{2as\xi -35}$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$y=-\frac{5\left(2as\xi +21\right)}{2\left(2as\xi -35\right)}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-\frac{5\left(2as\xi +21\right)}{2\left(2as\xi -35\right)},x=-\frac{40}{2as\xi -35}$$