Zgjidh y^2-42y+216=0

$$y ^ { 2 } - 42 y + 216 = 0$$

Gjej y

$$y=6$$

$$y=36$$

Hapat që përdorin faktorizimin

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo y^{2}-42y+216 me anë të formulës y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-42 ab=216$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 216.

$$-1,-216 -2,-108 -3,-72 -4,-54 -6,-36 -8,-27 -9,-24 -12,-18$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-216=-217 -2-108=-110 -3-72=-75 -4-54=-58 -6-36=-42 -8-27=-35 -9-24=-33 -12-18=-30$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -42.

$$a=-36 b=-6$$

Rishkruaj shprehjen e faktorizuar \left(y+a\right)\left(y+b\right) duke përdorur vlerat e fituara.

$$\left(y-36\right)\left(y-6\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh y-36=0 dhe y-6=0.

$$y=36 y=6$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si y^{2}+ay+by+216. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-42 ab=1\times 216=216$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 216.

$$-1,-216 -2,-108 -3,-72 -4,-54 -6,-36 -8,-27 -9,-24 -12,-18$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-216=-217 -2-108=-110 -3-72=-75 -4-54=-58 -6-36=-42 -8-27=-35 -9-24=-33 -12-18=-30$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -42.

$$a=-36 b=-6$$

Rishkruaj y^{2}-42y+216 si \left(y^{2}-36y\right)+\left(-6y+216\right).

$$\left(y^{2}-36y\right)+\left(-6y+216\right)$$

Faktorizo y në grupin e parë dhe -6 në të dytin.

$$y\left(y-36\right)-6\left(y-36\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët y-36 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(y-36\right)\left(y-6\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh y-36=0 dhe y-6=0.

$$y=36 y=6$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$y^{2}-42y+216=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 1, b me -42 dhe c me 216 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{\left(-42\right)^{2}-4\times 216}}{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -42.

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-4\times 216}}{2}$$

Shumëzo -4 herë 216.

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-864}}{2}$$

Mblidh 1764 me -864.

$$y=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{900}}{2}$$

Gjej rrënjën katrore të 900.

$$y=\frac{-\left(-42\right)±30}{2}$$

E kundërta e -42 është 42.

$$y=\frac{42±30}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{42±30}{2} kur ± është plus. Mblidh 42 me 30.

$$y=\frac{72}{2}$$

Pjesëto 72 me 2.

$$y=36$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{42±30}{2} kur ± është minus. Zbrit 30 nga 42.

$$y=\frac{12}{2}$$

Pjesëto 12 me 2.

$$y=6$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$y=36 y=6$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-42y+216=0$$

Zbrit 216 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y^{2}-42y+216-216=-216$$

Zbritja e 216 nga vetja e tij jep 0.

$$y^{2}-42y=-216$$

Pjesëto -42, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -21. Më pas mblidh katrorin e -21 në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$y^{2}-42y+\left(-21\right)^{2}=-216+\left(-21\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -21.

$$y^{2}-42y+441=-216+441$$

Mblidh -216 me 441.

$$y^{2}-42y+441=225$$

Faktori y^{2}-42y+441. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-21\right)^{2}=225$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(y-21\right)^{2}}=\sqrt{225}$$

Thjeshto.

$$y-21=15 y-21=-15$$

Mblidh 21 në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=36 y=6$$