Zgjidh y=3x-5text{and}3x+5y=11

$$y = 3 x - 5 \text { and } 3 x + 5 y = 11$$

Gjej y, x

$$x=2$$

$$y=1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$y-3x=-5$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-3x=-5,5y+3x=11$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-3x=-5$$

Mblidh 3x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=3x-5$$

Zëvendëso y me 3x-5 në ekuacionin tjetër, 5y+3x=11.

$$5\left(3x-5\right)+3x=11$$

Shumëzo 5 herë 3x-5.

$$15x-25+3x=11$$

Mblidh 15x me 3x.

$$18x-25=11$$

Mblidh 25 në të dyja anët e ekuacionit.

$$18x=36$$

Pjesëto të dyja anët me 18.

$$x=2$$

Zëvendëso x me 2 në y=3x-5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=3\times 2-5$$

Shumëzo 3 herë 2.

$$y=6-5$$

Mblidh -5 me 6.

$$y=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=1,x=2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$y-3x=-5$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-3x=-5,5y+3x=11$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\11\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\11\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\11\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\11\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{3-\left(-3\times 5\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\11\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{5}{18}&\frac{1}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\11\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}\left(-5\right)+\frac{1}{6}\times 11\\-\frac{5}{18}\left(-5\right)+\frac{1}{18}\times 11\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=1,x=2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$y-3x=-5$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-3x=-5,5y+3x=11$$

Për ta bërë y të barabartë me 5y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 5 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$5y+5\left(-3\right)x=5\left(-5\right),5y+3x=11$$

Thjeshto.

$$5y-15x=-25,5y+3x=11$$

Zbrit 5y+3x=11 nga 5y-15x=-25 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$5y-5y-15x-3x=-25-11$$

Mblidh 5y me -5y. Shprehjet 5y dhe -5y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-15x-3x=-25-11$$

Mblidh -15x me -3x.

$$-18x=-25-11$$

Mblidh -25 me -11.

$$-18x=-36$$

Pjesëto të dyja anët me -18.

$$x=2$$

Zëvendëso x me 2 në 5y+3x=11. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$5y+3\times 2=11$$

Shumëzo 3 herë 2.

$$5y+6=11$$

Zbrit 6 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$5y=5$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$y=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=1,x=2$$