Zgjidh y=-2x,y=x/2

$$y = - 2 x , y = \frac { x } { 2 }$$

Gjej y, x

$$x=0$$

$$y=0$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 2x në të dyja anët.

$$y+2x=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{x}{2} nga të dyja anët.

$$y-\frac{x}{2}=0$$

Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 2.

$$2y-x=0$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y+2x=0,2y-x=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y+2x=0$$

Zbrit 2x nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-2x$$

Zëvendëso y me -2x në ekuacionin tjetër, 2y-x=0.

$$2\left(-2\right)x-x=0$$

Shumëzo 2 herë -2x.

$$-4x-x=0$$

Mblidh -4x me -x.

$$-5x=0$$

Pjesëto të dyja anët me -5.

$$x=0$$

Zëvendëso x me 0 në y=-2x. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=0$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=0,x=0$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 2x në të dyja anët.

$$y+2x=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{x}{2} nga të dyja anët.

$$y-\frac{x}{2}=0$$

Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 2.

$$2y-x=0$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y+2x=0,2y-x=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&2\\2&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2\times 2}&-\frac{2}{-1-2\times 2}\\-\frac{2}{-1-2\times 2}&\frac{1}{-1-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=0,x=0$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto 2x në të dyja anët.

$$y+2x=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit \frac{x}{2} nga të dyja anët.

$$y-\frac{x}{2}=0$$

Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 2.

$$2y-x=0$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y+2x=0,2y-x=0$$

Për ta bërë y të barabartë me 2y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$2y+2\times 2x=0,2y-x=0$$

Thjeshto.

$$2y+4x=0,2y-x=0$$

Zbrit 2y-x=0 nga 2y+4x=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$2y-2y+4x+x=0$$

Mblidh 2y me -2y. Shprehjet 2y dhe -2y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$4x+x=0$$

Mblidh 4x me x.

$$5x=0$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=0$$

Zëvendëso x me 0 në 2y-x=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$2y=0$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$y=0$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=0,x=0$$