Zgjidh y=-3/2x;quady=-2-1/2x

$$y = - \frac { 3 } { 2 } x ; \quad y = - 2 - \frac { 1 } { 2 } x$$

Gjej y, x

$$x=2$$

$$y=-3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto \frac{3}{2}x në të dyja anët.

$$y+\frac{3}{2}x=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto \frac{1}{2}x në të dyja anët.

$$y+\frac{1}{2}x=-2$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y+\frac{3}{2}x=0,y+\frac{1}{2}x=-2$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y+\frac{3}{2}x=0$$

Zbrit \frac{3x}{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-\frac{3}{2}x$$

Zëvendëso y me -\frac{3x}{2} në ekuacionin tjetër, y+\frac{1}{2}x=-2.

$$-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}x=-2$$

Mblidh -\frac{3x}{2} me \frac{x}{2}.

$$-x=-2$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=2$$

Zëvendëso x me 2 në y=-\frac{3}{2}x. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=-\frac{3}{2}\times 2$$

Shumëzo -\frac{3}{2} herë 2.

$$y=-3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-3,x=2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto \frac{3}{2}x në të dyja anët.

$$y+\frac{3}{2}x=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto \frac{1}{2}x në të dyja anët.

$$y+\frac{1}{2}x=-2$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y+\frac{3}{2}x=0,y+\frac{1}{2}x=-2$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si një problemë e shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}&-\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}&\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\left(-2\right)\\-\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-3,x=2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shto \frac{3}{2}x në të dyja anët.

$$y+\frac{3}{2}x=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto \frac{1}{2}x në të dyja anët.

$$y+\frac{1}{2}x=-2$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y+\frac{3}{2}x=0,y+\frac{1}{2}x=-2$$

Zbrit y+\frac{1}{2}x=-2 nga y+\frac{3}{2}x=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y+\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}x=2$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}x=2$$

Mblidh \frac{3x}{2} me -\frac{x}{2}.

$$x=2$$

Zëvendëso x me 2 në y+\frac{1}{2}x=-2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y+\frac{1}{2}\times 2=-2$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë 2.

$$y+1=-2$$

Zbrit 1 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-3,x=2$$