Zgjidh y=4/3x-28/3;quady=2x+8

$$y = \frac { 4 } { 3 } x - \frac { 28 } { 3 } ; \quad y = 2 x + 8$$

Gjej y, x

$$x=-26$$

$$y=-44$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit \frac{4}{3}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=8$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Mblidh \frac{4x}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}$$

Zëvendëso y me \frac{-28+4x}{3} në ekuacionin tjetër, y-2x=8.

$$\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}-2x=8$$

Mblidh \frac{4x}{3} me -2x.

$$-\frac{2}{3}x-\frac{28}{3}=8$$

Mblidh \frac{28}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{2}{3}x=\frac{52}{3}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{2}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=-26$$

Zëvendëso x me -26 në y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=\frac{4}{3}\left(-26\right)-\frac{28}{3}$$

Shumëzo \frac{4}{3} herë -26.

$$y=\frac{-104-28}{3}$$

Mblidh -\frac{28}{3} me -\frac{104}{3} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$y=-44$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-44,x=-26$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit \frac{4}{3}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=8$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&-\frac{-\frac{4}{3}}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\\frac{3}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-\frac{28}{3}\right)-2\times 8\\\frac{3}{2}\left(-\frac{28}{3}\right)-\frac{3}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-44\\-26\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-44,x=-26$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit \frac{4}{3}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=8$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Zbrit y-2x=8 nga y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3} duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Mblidh -\frac{4x}{3} me 2x.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{28}{3}-8$$

Mblidh -\frac{28}{3} me -8.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{52}{3}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{2}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=-26$$

Zëvendëso x me -26 në y-2x=8. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y-2\left(-26\right)=8$$

Shumëzo -2 herë -26.

$$y+52=8$$

Zbrit 52 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-44$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-44,x=-26$$