Zgjidh y=1/3x;quady=60-3x

$$y = \frac { 1 } { 3 } x ; \quad y = 60 - 3 x$$

Gjej y, x

$$x=18$$

$$y=6$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit \frac{1}{3}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 3x në të dyja anët.

$$y+3x=60$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Mblidh \frac{x}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=\frac{1}{3}x$$

Zëvendëso y me \frac{x}{3} në ekuacionin tjetër, y+3x=60.

$$\frac{1}{3}x+3x=60$$

Mblidh \frac{x}{3} me 3x.

$$\frac{10}{3}x=60$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{10}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=18$$

Zëvendëso x me 18 në y=\frac{1}{3}x. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=\frac{1}{3}\times 18$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë 18.

$$y=6$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=6,x=18$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit \frac{1}{3}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 3x në të dyja anët.

$$y+3x=60$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 60\\\frac{3}{10}\times 60\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=6,x=18$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit \frac{1}{3}x nga të dyja anët.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 3x në të dyja anët.

$$y+3x=60$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Zbrit y+3x=60 nga y-\frac{1}{3}x=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Mblidh -\frac{x}{3} me -3x.

$$-\frac{10}{3}x=-60$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{10}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$x=18$$

Zëvendëso x me 18 në y+3x=60. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y+3\times 18=60$$

Shumëzo 3 herë 18.

$$y+54=60$$

Zbrit 54 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=6$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=6,x=18$$