Zgjidh x(32-2x)-120=0

$$x ( 32 - 2 x ) - 120 = 0$$

Gjej x

$$x=6$$

$$x=10$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar x me 32-2x.

$$32x-2x^{2}-120=0$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$16x-x^{2}-60=0$$

Risistemo polinomin për ta vendosur në formën standarde. Renditi kufizat nga fuqia më e madhe tek ajo më e vogël.

$$-x^{2}+16x-60=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si -x^{2}+ax+bx-60. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=16 ab=-\left(-60\right)=60$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është pozitive, a dhe b janë të dyja pozitive. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 60.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 16.

$$a=10 b=6$$

Rishkruaj -x^{2}+16x-60 si \left(-x^{2}+10x\right)+\left(6x-60\right).

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(6x-60\right)$$

Faktorizo -x në grupin e parë dhe 6 në të dytin.

$$-x\left(x-10\right)+6\left(x-10\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-10 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-10\right)\left(-x+6\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-10=0 dhe -x+6=0.

$$x=10 x=6$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar x me 32-2x.

$$32x-2x^{2}-120=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$-2x^{2}+32x-120=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me -2, b me 32 dhe c me -120 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\left(-2\right)\left(-120\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Ngri në fuqi të dytë 32.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\left(-2\right)\left(-120\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Shumëzo -4 herë -2.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024+8\left(-120\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Shumëzo 8 herë -120.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-960}}{2\left(-2\right)}$$

Mblidh 1024 me -960.

$$x=\frac{-32±\sqrt{64}}{2\left(-2\right)}$$

Gjej rrënjën katrore të 64.

$$x=\frac{-32±8}{2\left(-2\right)}$$

Shumëzo 2 herë -2.

$$x=\frac{-32±8}{-4}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-32±8}{-4} kur ± është plus. Mblidh -32 me 8.

$$x=-\frac{24}{-4}$$

Pjesëto -24 me -4.

$$x=6$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-32±8}{-4} kur ± është minus. Zbrit 8 nga -32.

$$x=-\frac{40}{-4}$$

Pjesëto -40 me -4.

$$x=10$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=6 x=10$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar x me 32-2x.

$$32x-2x^{2}-120=0$$

Shto 120 në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$32x-2x^{2}=120$$

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+32x=120$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$\frac{-2x^{2}+32x}{-2}=\frac{120}{-2}$$

Pjesëtimi me -2 zhbën shumëzimin me -2.

$$x^{2}+\frac{32}{-2}x=\frac{120}{-2}$$

Pjesëto 32 me -2.

$$x^{2}-16x=\frac{120}{-2}$$

Pjesëto 120 me -2.

$$x^{2}-16x=-60$$

Pjesëto -16, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -8. Më pas mblidh katrorin e -8 në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-16x+\left(-8\right)^{2}=-60+\left(-8\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -8.

$$x^{2}-16x+64=-60+64$$

Mblidh -60 me 64.

$$x^{2}-16x+64=4$$

Faktori x^{2}-16x+64. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-8\right)^{2}=4$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-8\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Thjeshto.

$$x-8=2 x-8=-2$$

Mblidh 8 në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=10 x=6$$