Zgjidh x^2-41x+400=0

$$x ^ { 2 } - 41 x + 400 = 0$$

Gjej x

$$x=16$$

$$x=25$$

Hapat që përdorin faktorizimin

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo x^{2}-41x+400 me anë të formulës x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-41 ab=400$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -41.

$$a=-25 b=-16$$

Rishkruaj shprehjen e faktorizuar \left(x+a\right)\left(x+b\right) duke përdorur vlerat e fituara.

$$\left(x-25\right)\left(x-16\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-25=0 dhe x-16=0.

$$x=25 x=16$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si x^{2}+ax+bx+400. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-41 ab=1\times 400=400$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -41.

$$a=-25 b=-16$$

Rishkruaj x^{2}-41x+400 si \left(x^{2}-25x\right)+\left(-16x+400\right).

$$\left(x^{2}-25x\right)+\left(-16x+400\right)$$

Faktorizo x në grupin e parë dhe -16 në të dytin.

$$x\left(x-25\right)-16\left(x-25\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-25 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-25\right)\left(x-16\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-25=0 dhe x-16=0.

$$x=25 x=16$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$x^{2}-41x+400=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 1, b me -41 dhe c me 400 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 400}}{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -41.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 400}}{2}$$

Shumëzo -4 herë 400.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-1600}}{2}$$

Mblidh 1681 me -1600.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{81}}{2}$$

Gjej rrënjën katrore të 81.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±9}{2}$$

E kundërta e -41 është 41.

$$x=\frac{41±9}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{41±9}{2} kur ± është plus. Mblidh 41 me 9.

$$x=\frac{50}{2}$$

Pjesëto 50 me 2.

$$x=25$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{41±9}{2} kur ± është minus. Zbrit 9 nga 41.

$$x=\frac{32}{2}$$

Pjesëto 32 me 2.

$$x=16$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=25 x=16$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-41x+400=0$$

Zbrit 400 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x^{2}-41x+400-400=-400$$

Zbritja e 400 nga vetja e tij jep 0.

$$x^{2}-41x=-400$$

Pjesëto -41, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{41}{2}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{41}{2} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-41x+\left(-\frac{41}{2}\right)^{2}=-400+\left(-\frac{41}{2}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{41}{2} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-41x+\frac{1681}{4}=-400+\frac{1681}{4}$$

Mblidh -400 me \frac{1681}{4}.

$$x^{2}-41x+\frac{1681}{4}=\frac{81}{4}$$

Faktori x^{2}-41x+\frac{1681}{4}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{41}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{41}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{41}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{41}{2}=-\frac{9}{2}$$

Mblidh \frac{41}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=25 x=16$$