Zgjidh x^2-25x+144=0

$$x ^ { 2 } - 25 x + 144 = 0$$

Gjej x

$$x=9$$

$$x=16$$

Hapat që përdorin faktorizimin

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo x^{2}-25x+144 me anë të formulës x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-25 ab=144$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 144.

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -25.

$$a=-16 b=-9$$

Rishkruaj shprehjen e faktorizuar \left(x+a\right)\left(x+b\right) duke përdorur vlerat e fituara.

$$\left(x-16\right)\left(x-9\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-16=0 dhe x-9=0.

$$x=16 x=9$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si x^{2}+ax+bx+144. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-25 ab=1\times 144=144$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 144.

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -25.

$$a=-16 b=-9$$

Rishkruaj x^{2}-25x+144 si \left(x^{2}-16x\right)+\left(-9x+144\right).

$$\left(x^{2}-16x\right)+\left(-9x+144\right)$$

Faktorizo x në grupin e parë dhe -9 në të dytin.

$$x\left(x-16\right)-9\left(x-16\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-16 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-16\right)\left(x-9\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-16=0 dhe x-9=0.

$$x=16 x=9$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$x^{2}-25x+144=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 1, b me -25 dhe c me 144 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{\left(-25\right)^{2}-4\times 144}}{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -25.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-4\times 144}}{2}$$

Shumëzo -4 herë 144.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{625-576}}{2}$$

Mblidh 625 me -576.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±\sqrt{49}}{2}$$

Gjej rrënjën katrore të 49.

$$x=\frac{-\left(-25\right)±7}{2}$$

E kundërta e -25 është 25.

$$x=\frac{25±7}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{25±7}{2} kur ± është plus. Mblidh 25 me 7.

$$x=\frac{32}{2}$$

Pjesëto 32 me 2.

$$x=16$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{25±7}{2} kur ± është minus. Zbrit 7 nga 25.

$$x=\frac{18}{2}$$

Pjesëto 18 me 2.

$$x=9$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=16 x=9$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-25x+144=0$$

Zbrit 144 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x^{2}-25x+144-144=-144$$

Zbritja e 144 nga vetja e tij jep 0.

$$x^{2}-25x=-144$$

Pjesëto -25, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{25}{2}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{25}{2} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-25x+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}=-144+\left(-\frac{25}{2}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{25}{2} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=-144+\frac{625}{4}$$

Mblidh -144 me \frac{625}{4}.

$$x^{2}-25x+\frac{625}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktori x^{2}-25x+\frac{625}{4}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{25}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{25}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{25}{2}=-\frac{7}{2}$$

Mblidh \frac{25}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=16 x=9$$