Zgjidh x^2-13x+42=0

$$x ^ { 2 } - 13 x + 42 = 0$$

Gjej x

$$x=6$$

$$x=7$$

Hapat që përdorin faktorizimin

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo x^{2}-13x+42 me anë të formulës x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-13 ab=42$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -13.

$$a=-7 b=-6$$

Rishkruaj shprehjen e faktorizuar \left(x+a\right)\left(x+b\right) duke përdorur vlerat e fituara.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-7=0 dhe x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si x^{2}+ax+bx+42. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-13 ab=1\times 42=42$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -13.

$$a=-7 b=-6$$

Rishkruaj x^{2}-13x+42 si \left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)$$

Faktorizo x në grupin e parë dhe -6 në të dytin.

$$x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-7 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-7=0 dhe x-6=0.

$$x=7 x=6$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 1, b me -13 dhe c me 42 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 42}}{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -13.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 42}}{2}$$

Shumëzo -4 herë 42.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2}$$

Mblidh 169 me -168.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Gjej rrënjën katrore të 1.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2}$$

E kundërta e -13 është 13.

$$x=\frac{13±1}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{13±1}{2} kur ± është plus. Mblidh 13 me 1.

$$x=\frac{14}{2}$$

Pjesëto 14 me 2.

$$x=7$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{13±1}{2} kur ± është minus. Zbrit 1 nga 13.

$$x=\frac{12}{2}$$

Pjesëto 12 me 2.

$$x=6$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=7 x=6$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Zbrit 42 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x^{2}-13x+42-42=-42$$

Zbritja e 42 nga vetja e tij jep 0.

$$x^{2}-13x=-42$$

Pjesëto -13, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{13}{2}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{13}{2} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{13}{2} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

Mblidh -42 me \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

Faktori x^{2}-13x+\frac{169}{4}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

Mblidh \frac{13}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=7 x=6$$