Zgjidh x^2-13x+22=0

$$x ^ { 2 } - 13 x + 22 = 0$$

Gjej x

$$x=2$$

$$x=11$$

Hapat që përdorin faktorizimin

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo x^{2}-13x+22 me anë të formulës x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-13 ab=22$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 22.

$$-1,-22 -2,-11$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-22=-23 -2-11=-13$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -13.

$$a=-11 b=-2$$

Rishkruaj shprehjen e faktorizuar \left(x+a\right)\left(x+b\right) duke përdorur vlerat e fituara.

$$\left(x-11\right)\left(x-2\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-11=0 dhe x-2=0.

$$x=11 x=2$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si x^{2}+ax+bx+22. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-13 ab=1\times 22=22$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 22.

$$-1,-22 -2,-11$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-22=-23 -2-11=-13$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -13.

$$a=-11 b=-2$$

Rishkruaj x^{2}-13x+22 si \left(x^{2}-11x\right)+\left(-2x+22\right).

$$\left(x^{2}-11x\right)+\left(-2x+22\right)$$

Faktorizo x në grupin e parë dhe -2 në të dytin.

$$x\left(x-11\right)-2\left(x-11\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-11 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-11\right)\left(x-2\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-11=0 dhe x-2=0.

$$x=11 x=2$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$x^{2}-13x+22=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 1, b me -13 dhe c me 22 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 22}}{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -13.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 22}}{2}$$

Shumëzo -4 herë 22.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-88}}{2}$$

Mblidh 169 me -88.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{81}}{2}$$

Gjej rrënjën katrore të 81.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±9}{2}$$

E kundërta e -13 është 13.

$$x=\frac{13±9}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{13±9}{2} kur ± është plus. Mblidh 13 me 9.

$$x=\frac{22}{2}$$

Pjesëto 22 me 2.

$$x=11$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{13±9}{2} kur ± është minus. Zbrit 9 nga 13.

$$x=\frac{4}{2}$$

Pjesëto 4 me 2.

$$x=2$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=11 x=2$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-13x+22=0$$

Zbrit 22 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x^{2}-13x+22-22=-22$$

Zbritja e 22 nga vetja e tij jep 0.

$$x^{2}-13x=-22$$

Pjesëto -13, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{13}{2}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{13}{2} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-22+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{13}{2} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-22+\frac{169}{4}$$

Mblidh -22 me \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{81}{4}$$

Faktori x^{2}-13x+\frac{169}{4}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{9}{2}$$

Mblidh \frac{13}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=11 x=2$$