Zgjidh x^2-11x+28=0

$$x ^ { 2 } - 11 x + 28 = 0$$

Gjej x

$$x=4$$

$$x=7$$

Hapat që përdorin faktorizimin

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo x^{2}-11x+28 me anë të formulës x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-11 ab=28$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 28.

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -11.

$$a=-7 b=-4$$

Rishkruaj shprehjen e faktorizuar \left(x+a\right)\left(x+b\right) duke përdorur vlerat e fituara.

$$\left(x-7\right)\left(x-4\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-7=0 dhe x-4=0.

$$x=7 x=4$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si x^{2}+ax+bx+28. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-11 ab=1\times 28=28$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 28.

$$-1,-28 -2,-14 -4,-7$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-28=-29 -2-14=-16 -4-7=-11$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -11.

$$a=-7 b=-4$$

Rishkruaj x^{2}-11x+28 si \left(x^{2}-7x\right)+\left(-4x+28\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-4x+28\right)$$

Faktorizo x në grupin e parë dhe -4 në të dytin.

$$x\left(x-7\right)-4\left(x-7\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-7 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-7\right)\left(x-4\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-7=0 dhe x-4=0.

$$x=7 x=4$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$x^{2}-11x+28=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 1, b me -11 dhe c me 28 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 28}}{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -11.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 28}}{2}$$

Shumëzo -4 herë 28.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-112}}{2}$$

Mblidh 121 me -112.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Gjej rrënjën katrore të 9.

$$x=\frac{-\left(-11\right)±3}{2}$$

E kundërta e -11 është 11.

$$x=\frac{11±3}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{11±3}{2} kur ± është plus. Mblidh 11 me 3.

$$x=\frac{14}{2}$$

Pjesëto 14 me 2.

$$x=7$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{11±3}{2} kur ± është minus. Zbrit 3 nga 11.

$$x=\frac{8}{2}$$

Pjesëto 8 me 2.

$$x=4$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=7 x=4$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-11x+28=0$$

Zbrit 28 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x^{2}-11x+28-28=-28$$

Zbritja e 28 nga vetja e tij jep 0.

$$x^{2}-11x=-28$$

Pjesëto -11, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{11}{2}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{11}{2} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{11}{2} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=-28+\frac{121}{4}$$

Mblidh -28 me \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktori x^{2}-11x+\frac{121}{4}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{3}{2}$$

Mblidh \frac{11}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=7 x=4$$