Zgjidh x^2+7x-78=42

$$x ^ { 2 } + 7 x - 78 = 42$$

Gjej x

$$x=-15$$

$$x=8$$

Hapat që përdorin faktorizimin

Zbrit 42 nga të dyja anët.

$$x^{2}+7x-78-42=0$$

Zbrit 42 nga -78 për të marrë -120.

$$x^{2}+7x-120=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo x^{2}+7x-120 me anë të formulës x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=7 ab=-120$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 7.

$$a=-8 b=15$$

Rishkruaj shprehjen e faktorizuar \left(x+a\right)\left(x+b\right) duke përdorur vlerat e fituara.

$$\left(x-8\right)\left(x+15\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-8=0 dhe x+15=0.

$$x=8 x=-15$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Zbrit 42 nga të dyja anët.

$$x^{2}+7x-78-42=0$$

Zbrit 42 nga -78 për të marrë -120.

$$x^{2}+7x-120=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si x^{2}+ax+bx-120. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=7 ab=1\left(-120\right)=-120$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 7.

$$a=-8 b=15$$

Rishkruaj x^{2}+7x-120 si \left(x^{2}-8x\right)+\left(15x-120\right).

$$\left(x^{2}-8x\right)+\left(15x-120\right)$$

Faktorizo x në grupin e parë dhe 15 në të dytin.

$$x\left(x-8\right)+15\left(x-8\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-8 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-8\right)\left(x+15\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-8=0 dhe x+15=0.

$$x=8 x=-15$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$x^{2}+7x-78=42$$

Zbrit 42 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x^{2}+7x-78-42=42-42$$

Zbritja e 42 nga vetja e tij jep 0.

$$x^{2}+7x-78-42=0$$

Zbrit 42 nga -78.

$$x^{2}+7x-120=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 1, b me 7 dhe c me -120 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-120\right)}}{2}$$

Ngri në fuqi të dytë 7.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-120\right)}}{2}$$

Shumëzo -4 herë -120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+480}}{2}$$

Mblidh 49 me 480.

$$x=\frac{-7±\sqrt{529}}{2}$$

Gjej rrënjën katrore të 529.

$$x=\frac{-7±23}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-7±23}{2} kur ± është plus. Mblidh -7 me 23.

$$x=\frac{16}{2}$$

Pjesëto 16 me 2.

$$x=8$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-7±23}{2} kur ± është minus. Zbrit 23 nga -7.

$$x=-\frac{30}{2}$$

Pjesëto -30 me 2.

$$x=-15$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=8 x=-15$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+7x-78=42$$

Mblidh 78 në të dyja anët e ekuacionit.

$$x^{2}+7x-78-\left(-78\right)=42-\left(-78\right)$$

Zbritja e -78 nga vetja e tij jep 0.

$$x^{2}+7x=42-\left(-78\right)$$

Zbrit -78 nga 42.

$$x^{2}+7x=120$$

Pjesëto 7, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{7}{2}. Më pas mblidh katrorin e \frac{7}{2} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=120+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{7}{2} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=120+\frac{49}{4}$$

Mblidh 120 me \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{529}{4}$$

Faktori x^{2}+7x+\frac{49}{4}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{529}{4}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{529}{4}}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{23}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{23}{2}$$

Zbrit \frac{7}{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=8 x=-15$$