Zgjidh x+2y=12,12=9x-2y

$$x + 2 y = 12,12 = 9 x - 2 y$$

Gjej x, y

$$x = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

$$y = \frac{24}{5} = 4\frac{4}{5} = 4.8$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$9x-2y=12$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+2y=12$$

Zbrit 2y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-2y+12$$

Zëvendëso x me -2y+12 në ekuacionin tjetër, 9x-2y=12.

$$9\left(-2y+12\right)-2y=12$$

Shumëzo 9 herë -2y+12.

$$-18y+108-2y=12$$

Mblidh -18y me -2y.

$$-20y+108=12$$

Zbrit 108 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-20y=-96$$

Pjesëto të dyja anët me -20.

$$y=\frac{24}{5}$$

Zëvendëso y me \frac{24}{5} në x=-2y+12. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-2\times \frac{24}{5}+12$$

Shumëzo -2 herë \frac{24}{5}.

$$x=-\frac{48}{5}+12$$

Mblidh 12 me -\frac{48}{5}.

$$x=\frac{12}{5}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$9x-2y=12$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2\times 9}&-\frac{2}{-2-2\times 9}\\-\frac{9}{-2-2\times 9}&\frac{1}{-2-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\\frac{9}{20}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 12+\frac{1}{10}\times 12\\\frac{9}{20}\times 12-\frac{1}{20}\times 12\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{5}\\\frac{24}{5}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndërro anët në mënyrë që të gjitha kufizat me ndryshore të jenë në anën e majtë.

$$9x-2y=12$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

Për ta bërë x të barabartë me 9x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 9 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$9x+9\times 2y=9\times 12,9x-2y=12$$

Thjeshto.

$$9x+18y=108,9x-2y=12$$

Zbrit 9x-2y=12 nga 9x+18y=108 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$9x-9x+18y+2y=108-12$$

Mblidh 9x me -9x. Shprehjet 9x dhe -9x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$18y+2y=108-12$$

Mblidh 18y me 2y.

$$20y=108-12$$

Mblidh 108 me -12.

$$20y=96$$

Pjesëto të dyja anët me 20.

$$y=\frac{24}{5}$$

Zëvendëso y me \frac{24}{5} në 9x-2y=12. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$9x-2\times \frac{24}{5}=12$$

Shumëzo -2 herë \frac{24}{5}.

$$9x-\frac{48}{5}=12$$

Mblidh \frac{48}{5} në të dyja anët e ekuacionit.

$$9x=\frac{108}{5}$$

Pjesëto të dyja anët me 9.

$$x=\frac{12}{5}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$