Zgjidh x+sqrt{1-x^2}=2/3

$$x + \sqrt { 1 - x ^ { 2 } } = \frac { 2 } { 3 }$$

Gjej x

$$x=-\frac{\sqrt{14}}{6}+\frac{1}{3}\approx -0.290276231$$

Hapat e zgjidhjes

Zbrit x nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\sqrt{1-x^{2}}=\frac{2}{3}-x$$

Ngri në fuqi të dytë të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)^{2}=\left(\frac{2}{3}-x\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{1-x^{2}} në fuqi të 2 dhe merr 1-x^{2}.

$$1-x^{2}=\left(\frac{2}{3}-x\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(\frac{2}{3}-x\right)^{2}.

$$1-x^{2}=\frac{4}{9}-\frac{4}{3}x+x^{2}$$

Zbrit \frac{4}{9} nga të dyja anët.

$$1-x^{2}-\frac{4}{9}=-\frac{4}{3}x+x^{2}$$

Zbrit \frac{4}{9} nga 1 për të marrë \frac{5}{9}.

$$\frac{5}{9}-x^{2}=-\frac{4}{3}x+x^{2}$$

Shto \frac{4}{3}x në të dyja anët.

$$\frac{5}{9}-x^{2}+\frac{4}{3}x=x^{2}$$

Zbrit x^{2} nga të dyja anët.

$$\frac{5}{9}-x^{2}+\frac{4}{3}x-x^{2}=0$$

Kombino -x^{2} dhe -x^{2} për të marrë -2x^{2}.

$$\frac{5}{9}-2x^{2}+\frac{4}{3}x=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$-2x^{2}+\frac{4}{3}x+\frac{5}{9}=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me -2, b me \frac{4}{3} dhe c me \frac{5}{9} në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{4}{3}±\sqrt{\left(\frac{4}{3}\right)^{2}-4\left(-2\right)\times \frac{5}{9}}}{2\left(-2\right)}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{4}{3} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x=\frac{-\frac{4}{3}±\sqrt{\frac{16}{9}-4\left(-2\right)\times \frac{5}{9}}}{2\left(-2\right)}$$

Shumëzo -4 herë -2.

$$x=\frac{-\frac{4}{3}±\sqrt{\frac{16}{9}+8\times \frac{5}{9}}}{2\left(-2\right)}$$

Shumëzo 8 herë \frac{5}{9}.

$$x=\frac{-\frac{4}{3}±\sqrt{\frac{16+40}{9}}}{2\left(-2\right)}$$

Mblidh \frac{16}{9} me \frac{40}{9} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{-\frac{4}{3}±\sqrt{\frac{56}{9}}}{2\left(-2\right)}$$

Gjej rrënjën katrore të \frac{56}{9}.

$$x=\frac{-\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{14}}{3}}{2\left(-2\right)}$$

Shumëzo 2 herë -2.

$$x=\frac{-\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{14}}{3}}{-4}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{14}}{3}}{-4} kur ± është plus. Mblidh -\frac{4}{3} me \frac{2\sqrt{14}}{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{14}-4}{-4\times 3}$$

Pjesëto \frac{-4+2\sqrt{14}}{3} me -4.

$$x=-\frac{\sqrt{14}}{6}+\frac{1}{3}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-\frac{4}{3}±\frac{2\sqrt{14}}{3}}{-4} kur ± është minus. Zbrit \frac{2\sqrt{14}}{3} nga -\frac{4}{3}.

$$x=\frac{-2\sqrt{14}-4}{-4\times 3}$$

Pjesëto \frac{-4-2\sqrt{14}}{3} me -4.

$$x=\frac{\sqrt{14}}{6}+\frac{1}{3}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{\sqrt{14}}{6}+\frac{1}{3} x=\frac{\sqrt{14}}{6}+\frac{1}{3}$$

Zëvendëso -\frac{\sqrt{14}}{6}+\frac{1}{3} me x në ekuacionin x+\sqrt{1-x^{2}}=\frac{2}{3}.

$$-\frac{\sqrt{14}}{6}+\frac{1}{3}+\sqrt{1-\left(-\frac{\sqrt{14}}{6}+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\frac{2}{3}$$

Thjeshto. Vlera x=-\frac{\sqrt{14}}{6}+\frac{1}{3} vërteton ekuacionin.

$$\frac{2}{3}=\frac{2}{3}$$

Zëvendëso \frac{\sqrt{14}}{6}+\frac{1}{3} me x në ekuacionin x+\sqrt{1-x^{2}}=\frac{2}{3}.

$$\frac{\sqrt{14}}{6}+\frac{1}{3}+\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{14}}{6}+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\frac{2}{3}$$

Thjeshto. Vlera x=\frac{\sqrt{14}}{6}+\frac{1}{3} nuk e vërteton ekuacionin.

$$\frac{1}{3}\times 14^{\frac{1}{2}}=\frac{2}{3}$$

Ekuacioni \sqrt{1-x^{2}}=\frac{2}{3}-x ka një zgjidhje unike.

$$x=-\frac{\sqrt{14}}{6}+\frac{1}{3}$$