Zgjidh x+3x+1/2-x-2/3=x^2-2

$$x + \frac { 3 x + 1 } { 2 } - \frac { x - 2 } { 3 } = x ^ { 2 } - 2$$

Gjej x

$$x=-1$$

$$x = \frac{19}{6} = 3\frac{1}{6} \approx 3.166666667$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Kombino 6x dhe 9x për të marrë 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -2 me x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Kombino 15x dhe -2x për të marrë 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Shto 3 dhe 4 për të marrë 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Zbrit 6x^{2} nga të dyja anët.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Shto 12 në të dyja anët.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Shto 7 dhe 12 për të marrë 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Risistemo polinomin për ta vendosur në formën standarde. Renditi kufizat nga fuqia më e madhe tek ajo më e vogël.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si -6x^{2}+ax+bx+19. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=13 ab=-6\times 19=-114$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -114.

$$-1,114 -2,57 -3,38 -6,19$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+114=113 -2+57=55 -3+38=35 -6+19=13$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 13.

$$a=19 b=-6$$

Rishkruaj -6x^{2}+13x+19 si \left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right).

$$\left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right)$$

Faktorizo -x në grupin e parë dhe -1 në të dytin.

$$-x\left(6x-19\right)-\left(6x-19\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 6x-19 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(6x-19\right)\left(-x-1\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 6x-19=0 dhe -x-1=0.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Kombino 6x dhe 9x për të marrë 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -2 me x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Kombino 15x dhe -2x për të marrë 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Shto 3 dhe 4 për të marrë 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Zbrit 6x^{2} nga të dyja anët.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Shto 12 në të dyja anët.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Shto 7 dhe 12 për të marrë 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me -6, b me 13 dhe c me 19 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Ngri në fuqi të dytë 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Shumëzo -4 herë -6.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+24\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Shumëzo 24 herë 19.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+456}}{2\left(-6\right)}$$

Mblidh 169 me 456.

$$x=\frac{-13±\sqrt{625}}{2\left(-6\right)}$$

Gjej rrënjën katrore të 625.

$$x=\frac{-13±25}{2\left(-6\right)}$$

Shumëzo 2 herë -6.

$$x=\frac{-13±25}{-12}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-13±25}{-12} kur ± është plus. Mblidh -13 me 25.

$$x=\frac{12}{-12}$$

Pjesëto 12 me -12.

$$x=-1$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-13±25}{-12} kur ± është minus. Zbrit 25 nga -13.

$$x=-\frac{38}{-12}$$

Thjeshto thyesën \frac{-38}{-12} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x=\frac{19}{6}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=-1 x=\frac{19}{6}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 6, shumëfishin më të vogël të përbashkët të 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Kombino 6x dhe 9x për të marrë 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -2 me x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Kombino 15x dhe -2x për të marrë 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Shto 3 dhe 4 për të marrë 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Zbrit 6x^{2} nga të dyja anët.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Zbrit 7 nga të dyja anët.

$$13x-6x^{2}=-12-7$$

Zbrit 7 nga -12 për të marrë -19.

$$13x-6x^{2}=-19$$

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+13x=-19$$

Pjesëto të dyja anët me -6.

$$\frac{-6x^{2}+13x}{-6}=-\frac{19}{-6}$$

Pjesëtimi me -6 zhbën shumëzimin me -6.

$$x^{2}+\frac{13}{-6}x=-\frac{19}{-6}$$

Pjesëto 13 me -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{19}{-6}$$

Pjesëto -19 me -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=\frac{19}{6}$$

Pjesëto -\frac{13}{6}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{13}{12}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{13}{12} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{19}{6}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{13}{12} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{19}{6}+\frac{169}{144}$$

Mblidh \frac{19}{6} me \frac{169}{144} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{625}{144}$$

Faktori x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror i përsosur, ai mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{625}{144}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{144}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{13}{12}=\frac{25}{12} x-\frac{13}{12}=-\frac{25}{12}$$

Mblidh \frac{13}{12} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$