Zgjidh t^2-24t-180=0

$$t ^ { 2 } - 24 t - 180 = 0$$

Gjej t

$$t=-6$$

$$t=30$$

Hapat që përdorin faktorizimin

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo t^{2}-24t-180 me anë të formulës t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right). Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-24 ab=-180$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -24.

$$a=-30 b=6$$

Rishkruaj shprehjen e faktorizuar \left(t+a\right)\left(t+b\right) duke përdorur vlerat e fituara.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh t-30=0 dhe t+6=0.

$$t=30 t=-6$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si t^{2}+at+bt-180. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-24 ab=1\left(-180\right)=-180$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -24.

$$a=-30 b=6$$

Rishkruaj t^{2}-24t-180 si \left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right).

$$\left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right)$$

Faktorizo t në grupin e parë dhe 6 në të dytin.

$$t\left(t-30\right)+6\left(t-30\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët t-30 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh t-30=0 dhe t+6=0.

$$t=30 t=-6$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$t^{2}-24t-180=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 1, b me -24 dhe c me -180 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -24.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\left(-180\right)}}{2}$$

Shumëzo -4 herë -180.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+720}}{2}$$

Mblidh 576 me 720.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{1296}}{2}$$

Gjej rrënjën katrore të 1296.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±36}{2}$$

E kundërta e -24 është 24.

$$t=\frac{24±36}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin t=\frac{24±36}{2} kur ± është plus. Mblidh 24 me 36.

$$t=\frac{60}{2}$$

Pjesëto 60 me 2.

$$t=30$$

Tani zgjidhe ekuacionin t=\frac{24±36}{2} kur ± është minus. Zbrit 36 nga 24.

$$t=-\frac{12}{2}$$

Pjesëto -12 me 2.

$$t=-6$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$t=30 t=-6$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$t^{2}-24t-180=0$$

Mblidh 180 në të dyja anët e ekuacionit.

$$t^{2}-24t-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

Zbritja e -180 nga vetja e tij jep 0.

$$t^{2}-24t=-\left(-180\right)$$

Zbrit -180 nga 0.

$$t^{2}-24t=180$$

Pjesëto -24, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -12. Më pas mblidh katrorin e -12 në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$t^{2}-24t+\left(-12\right)^{2}=180+\left(-12\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -12.

$$t^{2}-24t+144=180+144$$

Mblidh 180 me 144.

$$t^{2}-24t+144=324$$

Faktori t^{2}-24t+144. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-12\right)^{2}=324$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(t-12\right)^{2}}=\sqrt{324}$$

Thjeshto.

$$t-12=18 t-12=-18$$

Mblidh 12 në të dyja anët e ekuacionit.

$$t=30 t=-6$$