Zgjidh n^2-n-210=0

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

Gjej n

$$n=-14$$

$$n=15$$

Hapat që përdorin faktorizimin

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo n^{2}-n-210 me anë të formulës n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-1 ab=-210$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -1.

$$a=-15 b=14$$

Rishkruaj shprehjen e faktorizuar \left(n+a\right)\left(n+b\right) duke përdorur vlerat e fituara.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh n-15=0 dhe n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si n^{2}+an+bn-210. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -1.

$$a=-15 b=14$$

Rishkruaj n^{2}-n-210 si \left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

Faktorizo n në grupin e parë dhe 14 në të dytin.

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët n-15 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh n-15=0 dhe n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$n^{2}-n-210=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 1, b me -1 dhe c me -210 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

Shumëzo -4 herë -210.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

Mblidh 1 me 840.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

Gjej rrënjën katrore të 841.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

E kundërta e -1 është 1.

$$n=\frac{1±29}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin n=\frac{1±29}{2} kur ± është plus. Mblidh 1 me 29.

$$n=\frac{30}{2}$$

Pjesëto 30 me 2.

$$n=15$$

Tani zgjidhe ekuacionin n=\frac{1±29}{2} kur ± është minus. Zbrit 29 nga 1.

$$n=-\frac{28}{2}$$

Pjesëto -28 me 2.

$$n=-14$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$n=15 n=-14$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-n-210=0$$

Mblidh 210 në të dyja anët e ekuacionit.

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

Zbritja e -210 nga vetja e tij jep 0.

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

Zbrit -210 nga 0.

$$n^{2}-n=210$$

Pjesëto -1, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{1}{2}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{1}{2} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{1}{2} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

Mblidh 210 me \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

Faktori n^{2}-n+\frac{1}{4}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror i përsosur, ai mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

Thjeshto.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

Mblidh \frac{1}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$n=15 n=-14$$