Zgjidh n^2-11n-60=0

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

Gjej n

$$n=-4$$

$$n=15$$

Hapat që përdorin faktorizimin

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo n^{2}-11n-60 me anë të formulës n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-11 ab=-60$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -11.

$$a=-15 b=4$$

Rishkruaj shprehjen e faktorizuar \left(n+a\right)\left(n+b\right) duke përdorur vlerat e fituara.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh n-15=0 dhe n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si n^{2}+an+bn-60. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -11.

$$a=-15 b=4$$

Rishkruaj n^{2}-11n-60 si \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

Faktorizo n në grupin e parë dhe 4 në të dytin.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët n-15 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh n-15=0 dhe n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 1, b me -11 dhe c me -60 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -11.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

Shumëzo -4 herë -60.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

Mblidh 121 me 240.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

Gjej rrënjën katrore të 361.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

E kundërta e -11 është 11.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin n=\frac{11±19}{2} kur ± është plus. Mblidh 11 me 19.

$$n=\frac{30}{2}$$

Pjesëto 30 me 2.

$$n=15$$

Tani zgjidhe ekuacionin n=\frac{11±19}{2} kur ± është minus. Zbrit 19 nga 11.

$$n=-\frac{8}{2}$$

Pjesëto -8 me 2.

$$n=-4$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$n=15 n=-4$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Mblidh 60 në të dyja anët e ekuacionit.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Zbritja e -60 nga vetja e tij jep 0.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

Zbrit -60 nga 0.

$$n^{2}-11n=60$$

Pjesëto -11, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{11}{2}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{11}{2} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{11}{2} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

Mblidh 60 me \frac{121}{4}.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

Faktori n^{2}-11n+\frac{121}{4}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Thjeshto.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

Mblidh \frac{11}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$n=15 n=-4$$