Zgjidh n^2+5n=500

$$n ^ { 2 } + 5 n = 500$$

Gjej n

$$n=-25$$

$$n=20$$

Hapat që përdorin faktorizimin

Zbrit 500 nga të dyja anët.

$$n^{2}+5n-500=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo n^{2}+5n-500 me anë të formulës n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=5 ab=-500$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -500.

$$-1,500 -2,250 -4,125 -5,100 -10,50 -20,25$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+500=499 -2+250=248 -4+125=121 -5+100=95 -10+50=40 -20+25=5$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 5.

$$a=-20 b=25$$

Rishkruaj shprehjen e faktorizuar \left(n+a\right)\left(n+b\right) duke përdorur vlerat e fituara.

$$\left(n-20\right)\left(n+25\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh n-20=0 dhe n+25=0.

$$n=20 n=-25$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Zbrit 500 nga të dyja anët.

$$n^{2}+5n-500=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si n^{2}+an+bn-500. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=5 ab=1\left(-500\right)=-500$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -500.

$$-1,500 -2,250 -4,125 -5,100 -10,50 -20,25$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+500=499 -2+250=248 -4+125=121 -5+100=95 -10+50=40 -20+25=5$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 5.

$$a=-20 b=25$$

Rishkruaj n^{2}+5n-500 si \left(n^{2}-20n\right)+\left(25n-500\right).

$$\left(n^{2}-20n\right)+\left(25n-500\right)$$

Faktorizo n në grupin e parë dhe 25 në të dytin.

$$n\left(n-20\right)+25\left(n-20\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët n-20 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(n-20\right)\left(n+25\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh n-20=0 dhe n+25=0.

$$n=20 n=-25$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$n^{2}+5n=500$$

Zbrit 500 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$n^{2}+5n-500=500-500$$

Zbritja e 500 nga vetja e tij jep 0.

$$n^{2}+5n-500=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 1, b me 5 dhe c me -500 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\left(-500\right)}}{2}$$

Ngri në fuqi të dytë 5.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25-4\left(-500\right)}}{2}$$

Shumëzo -4 herë -500.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25+2000}}{2}$$

Mblidh 25 me 2000.

$$n=\frac{-5±\sqrt{2025}}{2}$$

Gjej rrënjën katrore të 2025.

$$n=\frac{-5±45}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin n=\frac{-5±45}{2} kur ± është plus. Mblidh -5 me 45.

$$n=\frac{40}{2}$$

Pjesëto 40 me 2.

$$n=20$$

Tani zgjidhe ekuacionin n=\frac{-5±45}{2} kur ± është minus. Zbrit 45 nga -5.

$$n=-\frac{50}{2}$$

Pjesëto -50 me 2.

$$n=-25$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$n=20 n=-25$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$n^{2}+5n=500$$

Pjesëto 5, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{5}{2}. Më pas mblidh katrorin e \frac{5}{2} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$n^{2}+5n+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=500+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{5}{2} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$n^{2}+5n+\frac{25}{4}=500+\frac{25}{4}$$

Mblidh 500 me \frac{25}{4}.

$$n^{2}+5n+\frac{25}{4}=\frac{2025}{4}$$

Faktori n^{2}+5n+\frac{25}{4}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{2025}{4}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{4}}$$

Thjeshto.

$$n+\frac{5}{2}=\frac{45}{2} n+\frac{5}{2}=-\frac{45}{2}$$

Zbrit \frac{5}{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$n=20 n=-25$$