Zgjidh n^2+11n=242

$$n ^ { 2 } + 11 n = 242$$

Gjej n

$$n=-22$$

$$n=11$$

Hapat që përdorin faktorizimin

Zbrit 242 nga të dyja anët.

$$n^{2}+11n-242=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo n^{2}+11n-242 me anë të formulës n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=11 ab=-242$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -242.

$$-1,242 -2,121 -11,22$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+242=241 -2+121=119 -11+22=11$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 11.

$$a=-11 b=22$$

Rishkruaj shprehjen e faktorizuar \left(n+a\right)\left(n+b\right) duke përdorur vlerat e fituara.

$$\left(n-11\right)\left(n+22\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh n-11=0 dhe n+22=0.

$$n=11 n=-22$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Zbrit 242 nga të dyja anët.

$$n^{2}+11n-242=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si n^{2}+an+bn-242. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=11 ab=1\left(-242\right)=-242$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -242.

$$-1,242 -2,121 -11,22$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+242=241 -2+121=119 -11+22=11$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 11.

$$a=-11 b=22$$

Rishkruaj n^{2}+11n-242 si \left(n^{2}-11n\right)+\left(22n-242\right).

$$\left(n^{2}-11n\right)+\left(22n-242\right)$$

Faktorizo n në grupin e parë dhe 22 në të dytin.

$$n\left(n-11\right)+22\left(n-11\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët n-11 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(n-11\right)\left(n+22\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh n-11=0 dhe n+22=0.

$$n=11 n=-22$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$n^{2}+11n=242$$

Zbrit 242 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$n^{2}+11n-242=242-242$$

Zbritja e 242 nga vetja e tij jep 0.

$$n^{2}+11n-242=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 1, b me 11 dhe c me -242 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-242\right)}}{2}$$

Ngri në fuqi të dytë 11.

$$n=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-242\right)}}{2}$$

Shumëzo -4 herë -242.

$$n=\frac{-11±\sqrt{121+968}}{2}$$

Mblidh 121 me 968.

$$n=\frac{-11±\sqrt{1089}}{2}$$

Gjej rrënjën katrore të 1089.

$$n=\frac{-11±33}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin n=\frac{-11±33}{2} kur ± është plus. Mblidh -11 me 33.

$$n=\frac{22}{2}$$

Pjesëto 22 me 2.

$$n=11$$

Tani zgjidhe ekuacionin n=\frac{-11±33}{2} kur ± është minus. Zbrit 33 nga -11.

$$n=-\frac{44}{2}$$

Pjesëto -44 me 2.

$$n=-22$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$n=11 n=-22$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$n^{2}+11n=242$$

Pjesëto 11, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{11}{2}. Më pas mblidh katrorin e \frac{11}{2} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$n^{2}+11n+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}=242+\left(\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{11}{2} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$n^{2}+11n+\frac{121}{4}=242+\frac{121}{4}$$

Mblidh 242 me \frac{121}{4}.

$$n^{2}+11n+\frac{121}{4}=\frac{1089}{4}$$

Faktori n^{2}+11n+\frac{121}{4}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{1089}{4}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(n+\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1089}{4}}$$

Thjeshto.

$$n+\frac{11}{2}=\frac{33}{2} n+\frac{11}{2}=-\frac{33}{2}$$

Zbrit \frac{11}{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$n=11 n=-22$$