Zgjidh f(x)=x^4-29x^2+100

$$f ( x ) = x ^ { 4 } - 29 x ^ { 2 } + 100$$

Faktorizo

$$\left(x-5\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)$$

Hapat e zgjidhjes

Për të faktorizuar shprehjen, zgjidh ekuacionin ku është i barabartë me 0.

$$x^{4}-29x^{2}+100=0$$

Sipas teoremës së rrënjëve racionale, të gjitha rrënjët racionale të një polinomi janë në formën \frac{p}{q}, ku p pjesëtohet me kufizën konstante 100 dhe q pjesëtohet me koeficientin kryesor 1. Lista e të gjithë kandidatëve \frac{p}{q}.

$$±100,±50,±25,±20,±10,±5,±4,±2,±1$$

Gjej një rrënjë të tillë duke provuar të gjitha vlerat me numra të plotë, duke filluar nga vlera më e vogël sipas vlerës absolute. Nëse nuk gjendet asnjë rrënjë e plotë, provo thyesat.

$$x=2$$

Sipas teoremës së faktorëve, x-k është një faktor i polinomit për çdo rrënjë k. Pjesëto x^{4}-29x^{2}+100 me x-2 për të marrë x^{3}+2x^{2}-25x-50. Për të faktorizuar rezultatin, zgjidh ekuacionin ku është i barabartë me 0.

$$x^{3}+2x^{2}-25x-50=0$$

Sipas teoremës së rrënjëve racionale, të gjitha rrënjët racionale të një polinomi janë në formën \frac{p}{q}, ku p pjesëtohet me kufizën konstante -50 dhe q pjesëtohet me koeficientin kryesor 1. Lista e të gjithë kandidatëve \frac{p}{q}.

$$±50,±25,±10,±5,±2,±1$$

Gjej një rrënjë të tillë duke provuar të gjitha vlerat me numra të plotë, duke filluar nga vlera më e vogël sipas vlerës absolute. Nëse nuk gjendet asnjë rrënjë e plotë, provo thyesat.

$$x=-2$$

Sipas teoremës së faktorëve, x-k është një faktor i polinomit për çdo rrënjë k. Pjesëto x^{3}+2x^{2}-25x-50 me x+2 për të marrë x^{2}-25. Për të faktorizuar rezultatin, zgjidh ekuacionin ku është i barabartë me 0.

$$x^{2}-25=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zëvendëso 1 për a, 0 për b dhe -25 për c në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\left(-25\right)}}{2}$$

Bëj llogaritjet.

$$x=\frac{0±10}{2}$$

Zgjidh ekuacionin x^{2}-25=0 kur ± është plus dhe kur ± është minus.

$$x=-5 x=5$$

Rishkruaj shprehjen e faktorizuar duke përdorur rrënjët e përfituara.

$$\left(x-5\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)$$

Vlerëso

$$x^{4}-29x^{2}+100$$