Zgjidh 90m^2-137m-45

$$90 m ^ { 2 } - 137 m - 45$$

Faktorizo

$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 90m^{2}+am+bm-45. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-137 ab=90\left(-45\right)=-4050$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -4050.

$$1,-4050 2,-2025 3,-1350 5,-810 6,-675 9,-450 10,-405 15,-270 18,-225 25,-162 27,-150 30,-135 45,-90 50,-81 54,-75$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-4050=-4049 2-2025=-2023 3-1350=-1347 5-810=-805 6-675=-669 9-450=-441 10-405=-395 15-270=-255 18-225=-207 25-162=-137 27-150=-123 30-135=-105 45-90=-45 50-81=-31 54-75=-21$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -137.

$$a=-162 b=25$$

Rishkruaj 90m^{2}-137m-45 si \left(90m^{2}-162m\right)+\left(25m-45\right).

$$\left(90m^{2}-162m\right)+\left(25m-45\right)$$

Faktorizo 18m në grupin e parë dhe 5 në të dytin.

$$18m\left(5m-9\right)+5\left(5m-9\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 5m-9 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$90m^{2}-137m-45=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{\left(-137\right)^{2}-4\times 90\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

Ngri në fuqi të dytë -137.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769-4\times 90\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

Shumëzo -4 herë 90.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769-360\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

Shumëzo -360 herë -45.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769+16200}}{2\times 90}$$

Mblidh 18769 me 16200.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{34969}}{2\times 90}$$

Gjej rrënjën katrore të 34969.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±187}{2\times 90}$$

E kundërta e -137 është 137.

$$m=\frac{137±187}{2\times 90}$$

Shumëzo 2 herë 90.

$$m=\frac{137±187}{180}$$

Tani zgjidhe ekuacionin m=\frac{137±187}{180} kur ± është plus. Mblidh 137 me 187.

$$m=\frac{324}{180}$$

Thjeshto thyesën \frac{324}{180} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 36.

$$m=\frac{9}{5}$$

Tani zgjidhe ekuacionin m=\frac{137±187}{180} kur ± është minus. Zbrit 187 nga 137.

$$m=-\frac{50}{180}$$

Thjeshto thyesën \frac{-50}{180} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 10.

$$m=-\frac{5}{18}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso \frac{9}{5} për x_{1} dhe -\frac{5}{18} për x_{2}.

$$90m^{2}-137m-45=90\left(m-\frac{9}{5}\right)\left(m-\left(-\frac{5}{18}\right)\right)$$

Thjeshto të gjitha shprehjet e formës p-\left(-q\right) në p+q.

$$90m^{2}-137m-45=90\left(m-\frac{9}{5}\right)\left(m+\frac{5}{18}\right)$$

Zbrit \frac{9}{5} nga m duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{5m-9}{5}\left(m+\frac{5}{18}\right)$$

Mblidh \frac{5}{18} me m duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{5m-9}{5}\times \frac{18m+5}{18}$$

Shumëzo \frac{5m-9}{5} herë \frac{18m+5}{18} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)}{5\times 18}$$

Shumëzo 5 herë 18.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)}{90}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 90 në 90 dhe 90.

$$90m^{2}-137m-45=\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

Vlerëso

$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$