Zgjidh 9y^2-12y+4

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 4$$

Faktorizo

$$\left(3y-2\right)^{2}$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 9y^{2}+ay+by+4. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-12 ab=9\times 4=36$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -12.

$$a=-6 b=-6$$

Rishkruaj 9y^{2}-12y+4 si \left(9y^{2}-6y\right)+\left(-6y+4\right).

$$\left(9y^{2}-6y\right)+\left(-6y+4\right)$$

Faktorizo 3y në grupin e parë dhe -2 në të dytin.

$$3y\left(3y-2\right)-2\left(3y-2\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 3y-2 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(3y-2\right)\left(3y-2\right)$$

Rishkruaj si një katror binomi.

$$\left(3y-2\right)^{2}$$

Hapat që përdorin katrorin e binomit

Ky trinom ka formën e një katrori trinomi, ndoshta të shumëzuar me një faktor të përbashkët. Katrorët e trinomit mund të faktorizohen duke gjetur rrënjët katrore të termit të parë dhe të fundit.

$$factor(9y^{2}-12y+4)$$

Gjej faktorin më të madh të përbashkët të koeficienteve.

$$gcf(9,-12,4)=1$$

Gjej rrënjën katrore të kufizës së parë, 9y^{2}.

$$\sqrt{9y^{2}}=3y$$

Gjej rrënjën katrore të kufizës së fundit, 4.

$$\sqrt{4}=2$$

Katrori i trinomit është katrori i binomit që është shuma ose diferenca e rrënjëve katrore të kufizës së parë dhe të fundit, me shenjën e përcaktuar nga shenja e kufizës së mesit të katrorit të trinomit.

$$\left(3y-2\right)^{2}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$9y^{2}-12y+4=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Ngri në fuqi të dytë -12.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Shumëzo -4 herë 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 4}}{2\times 9}$$

Shumëzo -36 herë 4.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 9}$$

Mblidh 144 me -144.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Gjej rrënjën katrore të 0.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±0}{2\times 9}$$

E kundërta e -12 është 12.

$$y=\frac{12±0}{2\times 9}$$

Shumëzo 2 herë 9.

$$y=\frac{12±0}{18}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso \frac{2}{3} për x_{1} dhe \frac{2}{3} për x_{2}.

$$9y^{2}-12y+4=9\left(y-\frac{2}{3}\right)\left(y-\frac{2}{3}\right)$$

Zbrit \frac{2}{3} nga y duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$9y^{2}-12y+4=9\times \frac{3y-2}{3}\left(y-\frac{2}{3}\right)$$

Zbrit \frac{2}{3} nga y duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$9y^{2}-12y+4=9\times \frac{3y-2}{3}\times \frac{3y-2}{3}$$

Shumëzo \frac{3y-2}{3} herë \frac{3y-2}{3} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$9y^{2}-12y+4=9\times \frac{\left(3y-2\right)\left(3y-2\right)}{3\times 3}$$

Shumëzo 3 herë 3.

$$9y^{2}-12y+4=9\times \frac{\left(3y-2\right)\left(3y-2\right)}{9}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 9 në 9 dhe 9.

$$9y^{2}-12y+4=\left(3y-2\right)\left(3y-2\right)$$

Vlerëso

$$\left(3y-2\right)^{2}$$