Zgjidh 9n^2-23n+20=3n^2

$$9 n ^ { 2 } - 23 n + 20 = 3 n ^ { 2 }$$

Gjej n

$$n = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$n = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Zbrit 3n^{2} nga të dyja anët.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Kombino 9n^{2} dhe -3n^{2} për të marrë 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 6n^{2}+an+bn+20. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-23 ab=6\times 20=120$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -23.

$$a=-15 b=-8$$

Rishkruaj 6n^{2}-23n+20 si \left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right).

$$\left(6n^{2}-15n\right)+\left(-8n+20\right)$$

Faktorizo 3n në grupin e parë dhe -4 në të dytin.

$$3n\left(2n-5\right)-4\left(2n-5\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 2n-5 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(2n-5\right)\left(3n-4\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 2n-5=0 dhe 3n-4=0.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Zbrit 3n^{2} nga të dyja anët.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Kombino 9n^{2} dhe -3n^{2} për të marrë 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 6, b me -23 dhe c me 20 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Ngri në fuqi të dytë -23.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 6\times 20}}{2\times 6}$$

Shumëzo -4 herë 6.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-24\times 20}}{2\times 6}$$

Shumëzo -24 herë 20.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-480}}{2\times 6}$$

Mblidh 529 me -480.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Gjej rrënjën katrore të 49.

$$n=\frac{-\left(-23\right)±7}{2\times 6}$$

E kundërta e -23 është 23.

$$n=\frac{23±7}{2\times 6}$$

Shumëzo 2 herë 6.

$$n=\frac{23±7}{12}$$

Tani zgjidhe ekuacionin n=\frac{23±7}{12} kur ± është plus. Mblidh 23 me 7.

$$n=\frac{30}{12}$$

Thjeshto thyesën \frac{30}{12} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 6.

$$n=\frac{5}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin n=\frac{23±7}{12} kur ± është minus. Zbrit 7 nga 23.

$$n=\frac{16}{12}$$

Thjeshto thyesën \frac{16}{12} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 4.

$$n=\frac{4}{3}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Zbrit 3n^{2} nga të dyja anët.

$$9n^{2}-23n+20-3n^{2}=0$$

Kombino 9n^{2} dhe -3n^{2} për të marrë 6n^{2}.

$$6n^{2}-23n+20=0$$

Zbrit 20 nga të dyja anët. Një numër i zbritur nga zero është i barabartë me atë numër me shenjë negative.

$$6n^{2}-23n=-20$$

Pjesëto të dyja anët me 6.

$$\frac{6n^{2}-23n}{6}=-\frac{20}{6}$$

Pjesëtimi me 6 zhbën shumëzimin me 6.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{20}{6}$$

Thjeshto thyesën \frac{-20}{6} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n=-\frac{10}{3}$$

Pjesëto -\frac{23}{6}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{23}{12}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{23}{12} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(-\frac{23}{12}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{23}{12} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=-\frac{10}{3}+\frac{529}{144}$$

Mblidh -\frac{10}{3} me \frac{529}{144} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}=\frac{49}{144}$$

Faktori n^{2}-\frac{23}{6}n+\frac{529}{144}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(n-\frac{23}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Thjeshto.

$$n-\frac{23}{12}=\frac{7}{12} n-\frac{23}{12}=-\frac{7}{12}$$

Mblidh \frac{23}{12} në të dyja anët e ekuacionit.

$$n=\frac{5}{2} n=\frac{4}{3}$$