Zgjidh 9x^2-24x+16=0

$$9 { x }^{ 2 } -24x+16=0$$

Gjej x

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 9x^{2}+ax+bx+16. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-24 ab=9\times 16=144$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 144.

$$-1,-144 -2,-72 -3,-48 -4,-36 -6,-24 -8,-18 -9,-16 -12,-12$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-144=-145 -2-72=-74 -3-48=-51 -4-36=-40 -6-24=-30 -8-18=-26 -9-16=-25 -12-12=-24$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -24.

$$a=-12 b=-12$$

Rishkruaj 9x^{2}-24x+16 si \left(9x^{2}-12x\right)+\left(-12x+16\right).

$$\left(9x^{2}-12x\right)+\left(-12x+16\right)$$

Faktorizo 3x në grupin e parë dhe -4 në të dytin.

$$3x\left(3x-4\right)-4\left(3x-4\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 3x-4 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(3x-4\right)\left(3x-4\right)$$

Rishkruaj si një katror binomi.

$$\left(3x-4\right)^{2}$$

Për të gjetur zgjidhjen e ekuacionit, zgjidh 3x-4=0.

$$x=\frac{4}{3}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$9x^{2}-24x+16=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 9, b me -24 dhe c me 16 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

Ngri në fuqi të dytë -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 9\times 16}}{2\times 9}$$

Shumëzo -4 herë 9.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-36\times 16}}{2\times 9}$$

Shumëzo -36 herë 16.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-576}}{2\times 9}$$

Mblidh 576 me -576.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Gjej rrënjën katrore të 0.

$$x=-\frac{-24}{2\times 9}$$

E kundërta e -24 është 24.

$$x=\frac{24}{2\times 9}$$

Shumëzo 2 herë 9.

$$x=\frac{24}{18}$$

Thjeshto thyesën \frac{24}{18} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 6.

$$x=\frac{4}{3}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-24x+16=0$$

Zbrit 16 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$9x^{2}-24x+16-16=-16$$

Zbritja e 16 nga vetja e tij jep 0.

$$9x^{2}-24x=-16$$

Pjesëto të dyja anët me 9.

$$\frac{9x^{2}-24x}{9}=-\frac{16}{9}$$

Pjesëtimi me 9 zhbën shumëzimin me 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{9}\right)x=-\frac{16}{9}$$

Thjeshto thyesën \frac{-24}{9} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 3.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x=-\frac{16}{9}$$

Pjesëto -\frac{8}{3}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{4}{3}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{4}{3} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{16}{9}+\left(-\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{4}{3} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{-16+16}{9}$$

Mblidh -\frac{16}{9} me \frac{16}{9} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=0$$

Faktori x^{2}-\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}=0$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{4}{3}=0 x-\frac{4}{3}=0$$

Mblidh \frac{4}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{4}{3} x=\frac{4}{3}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani. Zgjidhjet janë njëlloj.

$$x=\frac{4}{3}$$