Zgjidh 81x^2-90x+25

$$81 x ^ { 2 } - 90 x + 25$$

Faktorizo

$$\left(9x-5\right)^{2}$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si 81x^{2}+ax+bx+25. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-90 ab=81\times 25=2025$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 2025.

$$-1,-2025 -3,-675 -5,-405 -9,-225 -15,-135 -25,-81 -27,-75 -45,-45$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-2025=-2026 -3-675=-678 -5-405=-410 -9-225=-234 -15-135=-150 -25-81=-106 -27-75=-102 -45-45=-90$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -90.

$$a=-45 b=-45$$

Rishkruaj 81x^{2}-90x+25 si \left(81x^{2}-45x\right)+\left(-45x+25\right).

$$\left(81x^{2}-45x\right)+\left(-45x+25\right)$$

Faktorizo 9x në grupin e parë dhe -5 në të dytin.

$$9x\left(9x-5\right)-5\left(9x-5\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 9x-5 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(9x-5\right)\left(9x-5\right)$$

Rishkruaj si një katror binomi.

$$\left(9x-5\right)^{2}$$

Hapat që përdorin katrorin e binomit

Ky trinom ka formën e një katrori trinomi, ndoshta të shumëzuar me një faktor të përbashkët. Katrorët e trinomit mund të faktorizohen duke gjetur rrënjët katrore të termit të parë dhe të fundit.

$$factor(81x^{2}-90x+25)$$

Gjej faktorin më të madh të përbashkët të koeficienteve.

$$gcf(81,-90,25)=1$$

Gjej rrënjën katrore të kufizës së parë, 81x^{2}.

$$\sqrt{81x^{2}}=9x$$

Gjej rrënjën katrore të kufizës së fundit, 25.

$$\sqrt{25}=5$$

Katrori i trinomit është katrori i binomit që është shuma ose diferenca e rrënjëve katrore të kufizës së parë dhe të fundit, me shenjën e përcaktuar nga shenja e kufizës së mesit të katrorit të trinomit.

$$\left(9x-5\right)^{2}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$81x^{2}-90x+25=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{\left(-90\right)^{2}-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Ngri në fuqi të dytë -90.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-4\times 81\times 25}}{2\times 81}$$

Shumëzo -4 herë 81.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-324\times 25}}{2\times 81}$$

Shumëzo -324 herë 25.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{8100-8100}}{2\times 81}$$

Mblidh 8100 me -8100.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±\sqrt{0}}{2\times 81}$$

Gjej rrënjën katrore të 0.

$$x=\frac{-\left(-90\right)±0}{2\times 81}$$

E kundërta e -90 është 90.

$$x=\frac{90±0}{2\times 81}$$

Shumëzo 2 herë 81.

$$x=\frac{90±0}{162}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso \frac{5}{9} për x_{1} dhe \frac{5}{9} për x_{2}.

$$81x^{2}-90x+25=81\left(x-\frac{5}{9}\right)\left(x-\frac{5}{9}\right)$$

Zbrit \frac{5}{9} nga x duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$81x^{2}-90x+25=81\times \frac{9x-5}{9}\left(x-\frac{5}{9}\right)$$

Zbrit \frac{5}{9} nga x duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$81x^{2}-90x+25=81\times \frac{9x-5}{9}\times \frac{9x-5}{9}$$

Shumëzo \frac{9x-5}{9} herë \frac{9x-5}{9} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$81x^{2}-90x+25=81\times \frac{\left(9x-5\right)\left(9x-5\right)}{9\times 9}$$

Shumëzo 9 herë 9.

$$81x^{2}-90x+25=81\times \frac{\left(9x-5\right)\left(9x-5\right)}{81}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 81 në 81 dhe 81.

$$81x^{2}-90x+25=\left(9x-5\right)\left(9x-5\right)$$

Vlerëso

$$\left(9x-5\right)^{2}$$